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1、用平面几何方法解答解析几何问题而高过球心,则可寻球高与半径之间的关系.解:如图8所不,议正三棱锥高0A=h,底面边长为a,曲正三棱锥性质可知D:牟又知OA=OB=R,则在RtAOBOl中,(3~--3a):R一(h—R),所以a=3h(2R—h).所以=÷?譬n争.争(2
2、R图8=-厅4-h(2尺一)=一h)]≤(生筝(当且仅当h:2R一^,即:T4Ⅲ讨,取等号)所以正三棱锥体积最大值为.说明:利用均值不等式法是解最值问题的常用方法.本例也可以用导数法求出最值,而且比较简捷.建立函数法是一种常用的求最值方法,很多情况下,我们都是把这类动态问
3、题转化成目标函数,最终利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多,在函数建成后,可用一次函●张丽君数的端点法;二次函数的配方法,公式法;有界函数界值法(如三角函数等)及高次函数的导数法等.练习题1.已知二面角a—DC一大小是0,A为面内一点,AADC的面积为S,且DC=m,过A作直线A交平面于B使AB.上DC且与卢所成的角为3O..求当0等于多少度时,ABDC面积取得最大值?并求出这个最大值.2.等边三角形ABC的边长为a,将它沿平行于BC的线段DE折起,使平面ADE上平面BDEC,若折叠后AB的长度为d,则d的最小值为()(A)口～(B)
4、譬.(c)3(D).3.在直四棱柱ABCD—A,B1ClD1中,底面是边长为1的菱形,侧棱长为2.当A.c在[孚,詈]上变化时,求异面直线AC.与A1B.所成角的取值范围.练习题答案1.0=60.时,ABCD取最大面积2.s.2.(D)3.[ar…s譬,arccos
5、__薯福建Il-.用平面几何方法解答解析几何问题众所周知,解析几何是一门用代数的方法研究几何问题的学科.但任何事物都是一分为二的,事实上,解析几何中的问题并不总是用代数的方法解决来得方便,有效,对于有些问题的求解,若能回归平面几何的本质,不仅有a晴≮'蠢利于渗透数形结合的思想,
6、而且也能减少计算,给解题带来方便.?一,含有平面几何图形时当试题中含有平面几何的基本图形,如直角三角形,等腰三角形,矩形(正方形),等腰梯?9?形等,就应该联系平面几何方法来解决.例1(2009.年全国卷)如图1,已知AC,BD为圆0:+Y=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为——.思路引领:此题若采用解析几何的常规解法,要锲而不舍,且计算量大,即使在考场上做出的结果是正确的,势必要花费很多的时间,存在着"隐含失分"现象,得不偿失这里如果耐心考察就会发现,有一个对.(图1角线是确定的矩形,尤其再加上要求的
7、又是常见的面积变量最大值问题.解法1:设0到直线AC,BD的距离分别为d,d:(d,d2≥0),且由AC,BD互相垂直知d+d;=IOMI=3.又IACl_2一d,.IDI=2√_4一d,所以,四边形面积S=÷IAc1.IBDI=2一d?一d≤(4一d)+(4一d;)=5..思路升华:通过对图形的研究,发现其中内在隐含的几何关系,借助于两个距离,快速得出弦长的形式,再利用几何平均数与算术平均数的关系,求出结果.此法比较巧妙,且可操作性强.当然也可由此获得最小值,即s:2一d?一d:=2.=2√4+dd'≥2=4.解法2:当直线AC,BD有一
8、条经过点0时,ABCD的面积为S=4.当直线AC,BD均不经过点0时,则点0在直线AC,BD的射影与0点及点构成一矩形,故可以设矩形的邻边长分别为d.=4~-sinfl,d=co.于是÷Icl=,?10?=万,÷lBDl=.=÷IACl'肋I=9sin+16≤9+16=25,所以S有最大值5.思路升华:此法与解法1同出一辙,由于利用了平面几何,三角的知识,整个求-解过程更为简捷明快.例2(2o08年全国卷I)如图2,双曲线的中心为原点0,焦点在轴上,两条渐近线分别为Z1,Z2,经过右焦点F垂直于Z的直线分别交fl,Z2于A,B两点.已知ID
9、AI,IAI,lDIJ1y..I'图2成等差数列,且BF与FA同向.(I)求双曲线的离,22率;(Ⅱ)略.思路引领:此题联系平面几何的特征不明显,故绝大多数考生选择用纯解析几何方法(代数方法)来解决其实仔细考察就会发现有两个特征:一个是RtAOAB,另一个比较隐蔽,即0轴是Z.AOB的平分线.利用这两个特征,可以联系平面几何方法来解决.解:(I)方法1:设lI_n—d,IABl_凡,IOBI=n+d,由勾股定理可得(,l—d)+:(n十d),即d=1n.所以tan/_AOB=2/_AOF=:=4.又.一凡..2×tan.F,则由倍角公式得=
10、.02:口1,,4.,解得鱼;(另一个值舍去).由此可得离jⅡ心率e=.方法2:由对称性知/AOF=/_BOF.由角平分线性质可知卜}=,所以由等比定理有===1,即tan/_A
