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《中考数学复习指导：浅析全等变换中的数学思想》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅析全等变换中的数学思想初中教材“图形的变换”部分，主要介绍了图形的平移、轴对称、旋转、相似、投影等五块内容.其中，图形的平移、轴对称和旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，其本质是全等变换，本文选取儿例中考题进行解析，探讨全等变换题中蕴含的数学思想方法，与同仁交流.一、全等变换中的方程思想例1如图1,菱形纸片ABCD中，ZA=60°,将纸片折叠，点A、D分别落在CFA，、D处且A，D经过点B,EF为折痕，当DF丄CD时，莎的值为（(A)(C)V3-122V3-16(B)(D)6Vs+18图1解析延长DC与ATT,交于点M(如图2).V在菱形纸片ABC
2、D中，乙A=60。，・•・乙DCB二乙4=60°,/.AB//CD,:.厶D=180°-乙人二120°.根据折叠的性质，可得乙A'D'F二乙D二120°,・•・乙FD'M=180°-乙ADF=60°.•:DF丄CD,.・・・乙D'FM=90°,LM=90°一乙FDM=30°.•••厶BCM=180°-乙BCD=120°,•••ZCBM=180°一乙BCM-乙M=30%・•・乙CBM=乙M,.・.BC=CM.设CF=x.D'F=DF二y,则BC=CM=CD=CF+DF=x+y,/.FM=CM+CF=2xy.在RtZk"FM中，FM2x+y3/.X二%、二tan3
3、0°CFx聽"FDy2故选A.点评木题是全等变换屮的翻折变换（折壳问题），其中涉及到的知识点比较多，有菱形的性质、平行性质、折叠的性质、锐角三角函数定义、特殊角三角函数值等.探讨两条线段的比值问题，通过设未知数，根据三角函数之间的等量关系建立方程，清晰地反映了量与量之间的关系，将繁琐的过程简单化.二、全等变换中的分类思想例2如图3,在厶ABC屮，ZACB=90°,ZB=30°,AC=1,AC在直线/上.将AABC绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点P],此时AP
4、=2；将位置①的三角形绕点Pi顺时针旋转到位置②，可得到点P2,此时AP2=2+V3；将位置②三角形
5、绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3,此时AP3=3+VL…按此规律继续旋转，直到得到点P2012为止'贝9AP2012=()图3.(A)2011+67173(B)2012+67173(C)2013+671a/3（D）2014+67173解析寻找规律，根据旋转的性质，发现将RtAABC绕点A,P
6、,P2,…顺时针旋转,每旋转一次，APj（i=l,2,3,…）的长度依次增加2,V3,1,且三次一循环，按此规律即可求解.•・•RtZUBC中，乙ACB=90。，乙B=30°,AC=1,仁AB=2、BC=BV20124-3=670・・・2,/.=670（3+石）+
7、2+石2012+67173-故选B.点评木题以旋转变换的性质为依托.综合了锐角三角函数和特殊角的三角函数值等相关知识；同时，还考查了学生观察、比较、分类、归纳等方面的能力.分类思想贯穿于整个中学数学的全部内容之中，分类以比较为基础，本题通过观察、比较，将AR（i=l,2,3,…）的长度增加值进行分类，且发现三次一循环，进而探究出解决问题的突破口.三、全等变换中的类比思想例3⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB>AC）沿过点A的直线折瓶使得AC落在AB边上，折痕为AD,展开纸片（如图4）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF,展平纸片后得到A
8、AEF（如图5）.小明认为AAEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.BDC图5（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图6）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D处，折痕为EG(如图7)；再展平纸片(如图8).求图8中Za的大小.AED・AEDAEDL/Lz/1、z/V%•■■/:9a%BFC图6B图7BFG•图8C解析(1)如图9,设彳。与EF交于点G・由折叠性质知,4。平分乙BAC,/.乙BAD=乙CAD又乙AGE=乙AGF=90°,/.厶AEF=厶AFE,・•.AE=AF,即MEF为等
9、腰三角形.(2)由折叠性质知，四边形ABFE是正方.形，乙=45。，.・・厶BED=135°.又厶BEG=乙DEG,乙DEC=67.5°,-从而乙a=90°-67.5°=22.5°.点评本题是2009年南京市中考题中的一个亮点.不仅釆用课题学习的方式考查了全等变换中的轴对称变换，而且也给我们的教学一个重要的启示：关注活动经验的积累，关注数学学习过程的评价以及关注数学思想方法的渗透.问题(1)通过简单三角形的二次折叠发现结论并进行说理，在此基础上，通过类比，发现问题(1)和问题(2)的相同和不同之处,找到解决问题(2)的方法，即将问题⑴中的活动经验和结论迁移到解
10、决问题(2)的活动中.四、全等变换中的
