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《微分中值定理与导数的应用内容提要与典型例题-第三讲微分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三讲微分中值定理与导数的应用习题课内容提要典型例题1一、内容提要1.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)2.了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Tayloy)定理.3.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数定理.的单调性和求极值的方法.第三讲微分中值定理与导数的应用习题课25.会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限.6.了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径.4.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会求解最大值和最小值的应用问题.会描绘函数的图形(包括水平,铅直和斜渐近线).第三讲微分中值定理与导
2、数的应用习题课3洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法.导数的应用一、内容提要第三讲微分中值定理与导数的应用习题课41.微分中值定理及其相互关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理))(()()(000xxxfxfxf-¢+=abafbff--=¢)()()(x0=n第三讲微分中值定理与导数的应用习题课52.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(3)证明恒等式或不等式(4)证明有关中值问题的结论
3、(2)证明方程根的存在性第三讲微分中值定理与导数的应用习题课6利用一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用若已知条件中含高阶导数,若结论中含两个或两个以上的中值,3.有关中值问题的解题方法(1)可用原函数法找辅助函数.(2)柯西中值定理.中值定理.(3)(4)有时也可考虑多考虑用泰勒公式,逆向思维,设辅助函数.多用罗尔定理,必须多次应用对导数用中值定理.第三讲微分中值定理与导数的应用习题课7(1)研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率(2)解决最值问题目标函数的建立最值的判别问题(
4、3)其他应用:求不定式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等.4.导数应用第三讲微分中值定理与导数的应用习题课8二、典型例题在内可导,且证明在内有界.证再取异于的点在以为端点的区间上用定数对任意即证.例取点拉氏定理,第三讲微分中值定理与导数的应用习题课9例解第三讲微分中值定理与导数的应用习题课10这就验证了命题的正确性.第三讲微分中值定理与导数的应用习题课11例Darboux定理:证首先假定不妨设如右图所示oyxab由假设知第三讲微分中值定理与导数的应用习题课12由右方邻近，有由左侧邻近，有由Fermat定理,得其次，取介于之间
5、的任意数C为明确起见，不妨设引进辅助函数第三讲微分中值定理与导数的应用习题课13由上述已证知例证明方程在(0,1)内至少有一实根[分析]如令则的符号不易判别不便使用介值定理用Rolle定理来证第三讲微分中值定理与导数的应用习题课14证令则且故由Rolle定理知即在(0,1)内有一实根例证满足Rolle定理的条件第三讲微分中值定理与导数的应用习题课15在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在问题转化为证设辅助函数用Rolle定理,使即有例证分析0)(2)(=+¢xxxff0)()(2)(2=¢+=¢xxxxxffF第三讲微分中值定理与导数的应用习
6、题课16例分析构造辅助函数F(x),则问题转化为的零点存在问题.证设设Rolle定理使得因此必定有第三讲微分中值定理与导数的应用习题课17例且试证存在证:欲证因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证第三讲微分中值定理与导数的应用习题课18例设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且分析:所给条件可写为(03考研)试证必存在想到找一点c,使证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由Rolle定理知,必存在第三讲
7、微分中值定理与导数的应用习题课19例设函数在上二阶可导,且证明证:由Taylor公式得两式相减得第三讲微分中值定理与导数的应用习题课20例设在上可导,且证明f(x)至多只有一个零点.证:设则故在上连续单调递增,从而至多只有一个零点.又因因此也至多只有一个零点.思考:若题中改为其它不变时,如何设辅助函数?第三讲微分中值定理与导数的应用习题课21且在上存在,并单调递减,证明对一切有证则所以当时,令得即所证不等式成立.设例设0)()()()(<--+=bfafbafbj第三讲微分中值定理与导数的应用习题课22例证法一用单调性设即由证明不等式第三讲微分
8、中值定理与导数的应用习题课23可知,即法二用Lagrange定理设Lagrange定理由得即第三讲微分中值定理与导数的应用习题课24例证明不等式证第三
