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1、§8微分中值定理与导数的应用返回二、典型例题一、内容提要习题课一、内容提要1.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理.2.了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理.3.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法.5.会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限.4.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点;会求解最大值和最小值的应用问题.会描绘函数的图形(包括水平,铅直和斜渐近线);洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式
2、Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;求根方法.导数的应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理))(()()(000xxxfxfxf-¢+=abafbff--=¢)()()(x0=n2.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(3)证明恒等式或不等式(4)证明有关中值问题的结论(2)证明方程根的存在性利用一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用若已知条件中
3、含高阶导数,若结论中含两个或两个以上的中值,3.有关中值问题的解题方法(1)可用原函数法找辅助函数.(2)柯西中值定理.中值定理.(3)(4)有时也可考虑多考虑用泰勒公式,逆向思维,设辅助函数.多用罗尔定理,必须多次应用对导数用中值定理.(1)研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,(2)解决最值问题目标函数的建立最值的判别问题(3)其他应用:求不定式极限;几何应用;证明不等式;研究方程实根等.4.导数应用二、典型例题例证明方程在(0,1)内至少有一实根[分析]如令则的符号不易判别不便使用介值定
4、理,用Rolle定理来证证令则且故由Rolle定理知即在(0,1)内有一实根例Rolle定理的推广形式①证由Rolle定理知②证一则由题设知故由①知而证二若则结论显然成立下设不妨设有必存在最大值M即故由Fermat定理知③证一类似于②证一，作变换证二作变换证三若则结论显然成立下设不妨设有必存在最小值m即故由Fermat定理知④证明与③类似在内可导,且证明:在内有界.证再取异于的点在以为端点的区间上用定数对任意即证.例取点拉氏定理,例且试证存在证欲证因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有将①代
5、入②,化简得故有①②即要证例证由介值定理,（1）（2）注意到由（1）,（2）有（3）（4）（3）+（4）,得例证法一用单调性设即由证明不等式可知,即法二用Lagrange定理设Lagrange定理由得即例问方程有几个实根解同时也是最大值分三种情况讨论①由于方程有两个实根，分别位于②方程仅有一个实根，即③方程无实根①②③例证明不等式证设证明对任意有证一例不妨设证二解法一用三次洛必达法则可求得.法二结合其它方法用三次洛必达法则可求得.法三xxeexxxsinlimsin0--®求极限xxeexxxxsin1
6、limsinsin0--=-®原式xxeexxxxxsin1limlimsin0sin0--×=-®®111=×=例法四用Lagrange中值定理(1)(2)同理,所以,xxeexxxsinlimsin0--®求极限xexxeexx=--sinsin=--+®xxeexxxsinlimsin01lim0=+®xxe1sinlimsin0=---®xxeexxx1sinlimsin0=--®xxeexxx例解例解例设f(x)在[0，1]上有二阶导数，其中a,b为非负数求证证将f(0)，f(1)在在x=c处
7、作一阶Taylor展开，有两式相减，得例解奇函数列表如下:极大值拐点极小值作图测验题测验题答案六、
