微分中值定理与导数应用小结

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1、Chapter4(5)微分中值定理与导数应用小结洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法.导数的应用主要内容1.Rolle定理推论:一、中值定理2.Lagrange中值定理称为有限增量定理.推论3.Cauchy中值定理4.Taylor中值定理常用函数的麦克劳林公式二、L’Hospital法则L’Hospital法则I：L’Hospital法则II:三、导数应用1.函数单调性的判定法设f(x)在区间I上可导.2.函数的极值及其求法定义:极大值和极小值统称为极值,取得极

2、值的点称为极值点.导数为0的点称为函数的驻点.极值存在的必要条件注意：导数不存在的点也可能是极值点!极值存在的第一充分条件极值存在的第二充分条件注意:(1)使二阶导数不为0的点一定是极值点.求极值的步骤(2)求出驻点和不可导点.(3)由充分条件定理判定驻点和不可导点是否是极值点.(4)求出极值点处的函数值即得全部极值.步骤:(1)求驻点和不可导点;(2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值.注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)3.最大值、最小值问题实际问题求最值应注意:1)建立目标函数;2)求最值;4.曲

3、线的凹凸与拐点定义:设f(x)在I内连续,则f(x)在I上图形为向上凹的.则f(x)在I上图形为向上凸的.判别法：拐点存在的必要条件一、内容小结1.中值定理Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理Taylor中值定理2.L’Hospital法则3.导数的应用函数单调性判别法函数极值与判别法函数图形凹凸性判别法函数图形拐点的求法函数图形渐近线的求法4.弧微分及计算1.水平渐近线则y=A是曲线y=f(x)的水平渐近线.2.铅直渐近线则x=a是曲线y=f(x)的铅直渐近线.3.斜渐近线则y=kx+b是曲线y=f(x)的斜渐近线.由此可得主要题型举例1.证明等式或讨论根的存在性2

4、.证明不等式3.L’Hospital法则的应用4.单调性与凹凸性的判定，极值与拐点的求法5.应用问题的最值6.作图1.证明等式或讨论根的存在性Example1.Proof.由Rolle定理，得Example2.分析：Proof.由Rolle定理得:证明在(a,b)内方程Example3.若ab>0,分析:Proof.设0

5、不等式时,由Lagrange中值定理,则注意:Example6.Proof.Example7.设函数f(x)在[0,1]上具有三阶连续导数,且Proof.由f(x)在[0,1]上具有三阶连续导数,且从而两式相减得，Example8.Proof.当x=0时,等号成立.所以f(x)单调递增.从而,Example9.Proof.所以f(x)单调递增.Example10.Proof.3.L’Hospital法则的应用Example11.Solution.Example12.Solution.Example13.Solution.Example14.问f(x)在x=0处是否连续可导?Solution

6、.故f(x)在x=0处连续.故f(x)在x=0处可导.4.单调性与凹凸性的判定，极值与拐点的求法Example15.Solution.列表讨论如下:Example16.Proof.所以G(x)单调递增.所以F(x)单调递增.Example17.Solution.列表讨论如下:极大极小Example18.Solution.拐点拐点Example19.Solution.Example20.Solution.5.应用问题的最值Example21.从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后折成一个无盖盒子，问要截去多大的小方块，才使盒子容量最大？Solution.如图所示Exam

7、ple22.Solution.6.作图Example23.Solution.奇函数列表如下:极大值拐点极小值作图Theend