资源描述：
《微积分下测试题三》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1）若函数/（x,y）=2x2+ar+A^2+2y在点（-1,1）处取得极值，则常数a=3。XX2)设/(兀)=fwvdy,则£fx)dx=^cly^eydx=^-^-。(注：此题为二次积分改变积分次序的变形题）3）设S是立方体05兀，y,zSl的边界外侧。则曲面积分JJaV/w/z+y6dxdz+z1dxdy=3s4)5)已知函数y=y（x）由方程ey+6xy+x2-l=0确定。则/（0）=-2。微分方程y+3y-4y=x2^A用待定系数法确定特解（系数不求）的形式为(ox2+2、在椭球面2x2+2y2+z2=1上求一点，使得函数/（兀，y,z）=x2++z2在该点处沿方向/=i
2、-j的方向导数最大。解：因为等6x#+2yxV2>/2(x-y),设F(兀,y,z,2)=V2(x-y)+/l(2x2+2y2+z2-1F=>/2+42x=0rV1X=—2Fv=-^+42y=0得解《1「y=—和*尺=2加=0・2^=2x2+2/+z2-1=0z=0所以所求方向导数最大值为血。解方程组1X=——21y=-•2z=0£y3、求曲而N+N=4上点（ln2Jn2,l）处切平面和法线方程。xy解:设F（x,y,z）=ez+ez-4,则所求切平面为2（兀-ln2）+2（y-ln2）—41n2（z—l）=0设F（/）=JJJf（x2^y2^-z2）dxdydzf其中/（町为连续函
3、数。求F（f）。解:因为F(r)=nax2+y2+z?)dxdydz=J；则：则;f（P2）Q2血（pdp=4打;/（p2）p2dp所以F（/）=4加2/（/2）。5、5、求微分方程y‘-4y'+3y=0的解，使得该解所表示的曲线在点（0,2）处与直线2兀一2_y+4=C相切。解:解特征方程r2-4r+3=0得特征根q=3,勺=1,微分方程y"-4/+3y=0的通解为y=Cle3x+C2eyr=3C{e3x+C2ex,有所求曲线过点（0,2）Wq+C2=2；又由曲线在点（0,2）处与直线2x—2y+4=0相切。#(o)=3C；+g=—i3737干2盲所求特解为〉一尹+尹。求/（“）
4、。&Z由方程^+^=ze2x可得dx2dy2fn(exsiny)d=ze2x=>fn(exsiny)=z=f(exsiny)=>//z(w)=/(w)/"(%)=/(町可化为厂何-/3+f®)-/⑷=。eu[f(u)-f何丁+eu[f(W)-/(W)]=0{e"[/‘⑷-/(“)]}'=()导数为零就说明存在常数c,使得『[/©)-/(«)]=Go/[广(町—/⑺]=G两边同乘以严'可得-111euf{u)-e-uf(u)=C}e-^-2u=0因此有存在常数C?使得e~uf{u)+^e7、计算曲面积分一2“=C?=>f(u)=C2e"~~^e~uJJ(a+yx2cos/?+z2cos
5、y)dS其中工是球体x2+y2+z2<2z与锥体z>ylx2+y2的公共部分。的表面,cosz,cg3>,9是其外法向量的方向余弦。解：用高斯公式计算原式=Ilf(y2+F+2z)山=J。兀〃0『心吐"(f2sin20+2qcos0)”sin©dp/r=2疔ycos>sin>+8cos>sin=2/132T(COS6(PCOS8(py8、证明/(兀,y)=<(6sin(厂)xy4cos6(p_3-727=—7110o工H0在全平面可微。x=0证明：当xhO时，fx=—-7x~sin(A^)4-—cos(xy),fy=cos(xy)连续,所以兀工0时,X函数/(x,y)可微(理由有连续
6、偏导数一定可微);Ax当兀=0时，人(0,刃=］说4止如him沁也不存在，所以''’A.v->()ArAx->()x=0时，函数f(x9y)不可微(理由可微一定可导)。9、计算曲线积分j(l+xe2y)dx+(x2e2y-l)dy，其中厶为(x-2)2+y2=4在第一象限内L逆吋针方向的半圆弧。解：因为此曲线枳分与路径无关，所以原式=［(1+兀)力=-12。10、求曲面八厂］到平面：2兀+2沖+5=0的最短距离。解：因为点(忑，％,z°)到平面2x+2y+z+5=0的距离为卩％+2>，°+Z°+5设F（兀，y,z,兄）=（2x+2y+z+5『+AIKFx=4(2x+2y+z+5)+2
7、兀=0Fy=4(2x+2y+z+5)+2Ay=0代=2(2x+2y+z+5)+；z=0得<22代=-+/+---1=0兄2.4所求最短距离为丄。3附加题：(供学习无穷级数的学生作测试)解方程组80〃（1+7?丿a=0,所以当0<1吋,仏>0,0〉0)收敛;8/?"当0>1时，工牛(Q〉O,0>O)发散;n=
