2002微积分下答案

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1、浙江大学2002级微积分（下）期终考试试卷解答得分一、选择题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的字母填入括号中。1.二元函数在点处可微是在该点两个偏导数都存在的（）（A）充分条件而非必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件解：（A）.只有两个偏导数都存在且连续才有可微，选A.2.二元函数，在点处（）（A）连续、偏导数存在（B）连续、偏导数不存在（C）不连续、偏导数存在（D）不连续、偏导数不存在解：（C）.当动点沿直线而趋于定点时，，说明动点沿不同斜率直线趋向原

2、点对应极限值也不同，故不连续又同理，故偏导数存在，选C3.设直线与，则与的夹角为（）（A）（B）（C）（D）解：（C）.的方向是的方向是与的夹角的余弦，，选C4.下列级数中收敛的级数是（）（A）（B）（C）（D）解：（D）.收敛，故原级数收敛，选D5.设力作用在一质点上，该质点从点沿直线移动到点，则此力所作的功为（）（A）（B）（C）（D）解：（C）.功，其中为位移，为与的夹角.，选C得分二、填空题：（每小题3分，共24分）只填答案1.设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面的方程是____________。解：.令方程为，过原点，又过.又与垂直，综上

3、得：，.所求平面方程为2.与矢量，矢量都垂直的单位矢量是____________。解：.所求为3.设方程确定，则＝____________。解：.对方程分别对求导得：4.曲面在点处的切平面方程是____________。解：.设，，，在全空间上处处连续，在处，，，切平面为即5.＝____________。解：.令，.则原式＝6.设曲线，则=____________。解：.由第一型曲线积分公式知：＝＝7.设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为____________。解：.首先说明与有相同得收敛区间.设且是得一个收敛点，则必有也是收敛点.存在，有（记）

4、（记）是收敛的也是收敛的的收敛区间为，即为.8.设，则的麦克劳林级数展开式为____________。解：.令，则＝＝＝得分三、计算（每小题8分，共16分）1.设，具有连续的二阶偏导数，求，，。解：2.设函数，（1）在点处沿哪个方向的方向导数最大；（2）求在点处的最大方向导数。解：（1），，，，故沿方向，方向导数最大（2）由gradgrad得分得分四、计算（每小题8分，共16分）1.计算三重积分，其中是由与所围成的区域。解：关于平面对称，关于是奇函数，知故原式=====2.求平面含在椭圆柱面内的面积。解：，原式===得分五、计算（每小题8分，共16分）1.

5、计算，其中沿上半圆周从点到点。解：原式===2.求曲面积分，其中为球面的外侧。解：原式====得分六、（第1小题7分，第2小题6分，共13分）1.求幂级数的和函数，并指出收敛域。解：======2.就的不同取值，讨论级数的收敛性。解：由该级数为正项级数且=当时，，知原级数收敛.当时，，知原级数收敛.当时，令，知，且=，设递增，且=，知有上界.由单调有界定理知.知故发散.