（江苏专用）2020版高考数学复习第十二章系列4选讲12.3不等式选讲（第2课时）不等式的证明教案

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1、第2课时　不等式的证明考情考向分析　本节主要考查不等式的证明方法及柯西不等式的简单应用，以解答题的形式出现，属于低档题．1．不等式证明的方法(1)比较法①作差比较法知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明a－b>0即可，这种方法称为作差比较法．②作商比较法由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为作商比较法．(2)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法．(3)分析法从待证不等式出发

2、，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法．(4)反证法和放缩法①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法．②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．(5)数学归纳法

3、一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当n＝n0时命题成立；②假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．几个常用的不等式(1)柯西不等式①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则

4、α

5、

6、β

7、≥

8、α·β

9、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝k

10、β时，等号成立．③柯西不等式的三角形不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则＋≥.④柯西不等式的一般形式：设n为大于1的自然数，ai，bi(i＝1,2，…，n)为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，等号当且仅当＝＝…＝时成立(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2，…，n)．(2)算术—几何平均不等式若a1，a2，…，an为正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，假设为“a，b，c全

11、不为0”．(　×　)(2)若>1，则x＋2y>x－y.(　×　)(3)若a，b为正实数，a＋b＝1，则＋≥4.(　√　)(4)若实数x，y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(　√　)题组二　教材改编2．[P12例1]不等式：①x2＋3>3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③＋≥2，其中恒成立的是________．(填序号)答案　①②解析　由①得x2＋3－3x＝2＋>0，所以x2＋3>3x恒成立；对于②，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成立；对于③，因为当ab<0时，＋－2＝<0，所以＋<2.3．[P21习题T

12、4]若a>b>1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是________．答案　x>y解析　x－y＝a＋－＝a－b＋＝.由a>b>1，得ab>1，a－b>0，所以>0，即x－y>0，所以x>y.4．[P37习题T1]设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．答案　解析　根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.题组三　易错自纠5．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．答案　9解析　把a＋b＋c＝1代入到＋＋中，得＋＋

13、＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．6．(2019·徐州模拟)已知正数a，b，c满足2a＋3b＋6c＝2，求＋＋的最小值．解　由于a，b，c>0，所以＋＋＝≥2＝(＋＋)2＝27，当且仅当＝＝，即a∶b∶c＝3∶2∶1且a，b，c>0时，等号成立．7．已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.证明：(1)(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；(2)＋＋≤＋＋.证明　(1)∵a>0，b>0，c>0,1＋a≥2，1＋b≥2，1＋c≥2，∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8＝8，当且仅当