2020版高考数学复习第十二章系列4选讲12.2不等式选讲（第2课时）不等式的证明教案文（含解析）新人教A版

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1、第2课时　不等式的证明最新考纲考情考向分析通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.主要考查用比较法、综合法、分析法证明不等式，题型为解答题，中档难度.1.比较法(1)作差比较法知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明a－b>0即可，这种方法称为作差比较法.(2)作商比较法由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为作商比较法.2.综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的

2、方法.3.分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法.4.反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立.5.放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的.概念方法微思考1.综合法与分析法有何内在联系？提示　综合法往往是分析法的相反

3、过程，其表述简单、条理清楚，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程.2.分析法的过程中为什么要使用“要证”，“只需证”这样的连接“关键词”？提示　因为“要证”“只需证”这些词说明了分析法需要寻求的是充分条件，符合分析法的思维是逆向思维的特点，因此在证题时，这些词是必不可少的.题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当a≥0，b≥0时，≥.(　√　)(2)用反证法证明命题“a，b，c全为0”的假设为“a，b，c全不为0”.(　×　)(3)若实数x，y适合不等式xy>1，x＋y

4、>－2，则x>0，y>0.(　√　)(4)若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则n≥m.(　√　)题组二　教材改编2.已知a，b∈R＋，a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)A.1B.2C.4D.8答案　B解析　因为a，b∈R＋，且a＋b＝2，所以(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，所以＋≥＝2，即＋的最小值为2(当且仅当a＝b＝1时，“＝”成立).故选B.3.若a，b，m∈R＋，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)A.≥B.>C.≤D.<答案　B解析　因为a，b，m∈R＋，且a>b.所以－＝>0，即>，故选B.题组三　易错自纠4.已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>

5、0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的反设为(　　)A.a<0，b<0，c<0B.a≤0，b>0，c>0C.a，b，c不全是正数D.abc<0答案　C5.若a>b>1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是(　　)A.x>yB.xb>1，得ab>1，a－b>0，所以>0，即x－y>0，所以x>y.故选A.6.若a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为(　　)A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b答案　A解析　“分子”有理化得a＝，b＝，c＝，∴a>b>c.题型一　用综合法与分

6、析法证明不等式例1(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3；(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥.证明　(1)因为x>0，y>0，x－y>0，2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3(当且仅当x－y＝1时，等号成立)，所以2x＋≥2y＋3.(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而ab＋b

7、c＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立，所以原不等式成立.思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.跟踪训练1(2017·全国Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2，证明：(1)(a＋b)(a