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1、第四章三角函数与解三角彤第07节解三角形及其应用举例【考纲解读】考占•J八、、考纲内容5年统计分析预测正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理及其应用2013浙江文18；2014浙江文18；理10,18；2015浙江文16；理16；2016浙江文16；理16；2017浙江14.1•测量距离问题;2.测量高度问题；3.测量角度问题.4.备考重点：(1)掌握正弦定理、余弦定理；(2)掌握几种常见题型的解法.(3)理解三角形中的有关术语.【知识清单】1・测量距离问题实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角：在视线和
2、水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1).(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如〃点的方位角为如图2).(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向.②北偏西即由指北方向逆时针旋转十到达冃标方向.③南偏西等其他方向角类似.（4）坡度：①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图4,角〃为坡角）.②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图4,，为坡比）.对点练习:【浙江宁波模拟】如图，某商业屮心0有通往正东
3、方向和北偏东30。方向的两条街道，某公JT园P位于商业屮心北偏东&角0切护心,且与商业屮心O的距离为V21公里处，现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A,B两处，当商业中心O到A,B两处的距离之和最小时，的距离为—公里.【答案】3羽.【解析】以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设尸（加/）,由0<0<彳」见0=3曲，求得弘“習心宀存所以…開宀“。®辱，即鸣，设则胭的直线方程可表示为：斗=甞,直线OB方程为：y=辰,解方程组得B（亠，二"所以J3巧2/—oZt—b—亍22os=2/-8
4、0/
5、+
6、
7、08
8、=片+士=£—4+f44+Zj(f£+1=543当且仅当孑―4=、即f=6时取等号，此时J(6:0),5(-a£=3^3余弦定理：+Z?2—c2=2abcosCb2+C1-a1=2accosAc2+a2-b2=2qccosB.变形公式cos畀=万；:冶“+c—t)a'COSB=~2acos2ab对点练习：[2015高考湖北】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到4处时测得公路北侧-山顶〃在西偏北3(T的方向上，行驶600m后到达〃处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°,则此山的
9、高度CD二m.【答案】100亦【解析】依题意，ZBAC=30°,ZABC= 5Q,在ABC中,由ZABC+ABAC+ZACB=180所以，―亍，因为仁600,由正弦定理可得盎=需，即心30。屁,在RtABCD中，因为ZCBD=30°BC=300©所以tan30°=—=CDBC300V2所以CD=100V6m.3.测量角度问题已知条件运用定理—般解法—边和两角如（@B、C）正弦定理由求出由正弦定理求出馬⑺在有解时只有一解两边和夹角如gb、co余弦定理由余弦走理求出边再由正弦定理求小边所对的角，再由A+
10、B+C=^?求另一个角，在有解时只有一解两边和其中一边的对角如gb、&正弦定理由正弦定理求出4,由^+5+0=180%求角6再由IF弦定理求边卞，可有两解、一解、或无解三边如（°、c）余弦定理由余弦走理求/、B,再由A+B+C=l^求角C,在有解时只有一解应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时，有时可用正弦定理，也对用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理.对点练习：【2017r东佛山二模】某沿海四个城市A、B、C、D的位置如图所示，其中ZABC=60°,ZBCD=135°,AB=S
11、Onmile,BC=40+30x/3nmile,CD=250V6nmile,D位于A的北偏东75。方向.现在有一艘轮船从A出发以50nniile/h的速度向D直线航行，60min后，伦船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西&度，贝＞Jsin^=【解析】设船行驶至F,则AF=5Qf连接AC:CF,QA作/E丄月C于E,则血=8広也60°=40少，BE=ABcos60°=40,CF=BC-BF=30£=AC=J血+治=50少,aa込co^ace=-^^ACE=-?所
12、以cosZACD=cos(135°-ZJCE)=—=—，所以ZCW=90°,55'f10CD又AF=50,AC=5Qj3,可得ZAFC=60所以e=ZCFN-乙AFN-AAFC=ZMAF一ZAFC=15°,【考点深度剖析】高考对正弦定理和余眩定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变
