（浙江专用）高考数学一轮复习讲练测专题4.7解三角形及其应用举例（讲）（含解析）

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1、第07讲解三角形及其应用举例---讲1.掌握正弦定理、余弦定理及其应用.2.高考预测：（1）测量距离问题；（2测量高度问题；（3）测量角度问题.（4）主要是利用定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题，关键是弄懂有关术语，认真理解题意.从浙江卷来看，本节是高考中的一个“冷考点”．三角形中的应用问题，主要是结合直角三角形，考查边角的计算，也有与导数结合考查的情况.3.备考重点：（1）掌握正弦定理、余弦定理；（2）掌握几种常见题型的解法.（3）理解三角形中的有关术语.知识点1．实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角：

2、在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．　　　(4)坡度：①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)．【典例1】（2019·福建高考模拟（理

3、））如图，为了测量某湿地两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点．从点测得，从点测得，，从点测得.若测得，（单位:百米），则两点的距离为()A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，则∠DAC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE，则∠EBC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，则有，变形可得BC，在△ABC中，AC＝2，BC，∠ACB＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝60°，则A

4、B2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB＝9，则AB＝3；故选：C．【总结提升】研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．【变式1】（2018届广东省珠海市珠海二中、斗门一中高三上期中联考）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，，，，故选C

5、.考点1测量距离问题【典例2】（2019·福建高考模拟（文））海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为________．【答案】【解析】由已知，△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC=15°由正弦定理得，△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠DBC=30°，由正弦定理，，所以BC；△ABC中，由余弦定理，AB2＝AC2+

6、BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB＝解得：AB，则两目标A，B间的距离为．故答案为：．【总结提升】测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有：（1）两点都不可到达；（2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达.【变式2】（2019·四川高考模拟（理））海上一艘轮船以的速度向正东方向航行，在处测得小岛在北偏西的方向上，小岛在北偏东的方向上，航行后到达处测得小岛在北偏西的方向上，小岛在北偏西的方向上，则两个小岛间的距离______.【答案】【解析】在中，由题意可得∴由正弦定理∴∵在中，由于由正弦定理可得可得∴中，由

7、余弦定理可得∴解得即C、D之间的距离为故答案为.考点2测量高度问题【典例3】（2018·上海高考模拟）如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼的高度，为楼顶，线段的长度为，在处测得，在处测得，且此时看楼顶的仰角，已知楼底和、在同一水平面上，则此楼高度________（精确到）【答案】【解析】在△ABD中，由正弦定理，得：，由AB＝600，得：BD＝＝300，在Rt△BCD中，因为，所以，CD＝BD＝150≈212，故答案为.【总结提升】求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角

8、)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．【变式3】（2018届山东、湖北部分重点中学高考冲刺（二））我国古