【数学】江苏省淮安市2017届高考二模试卷（解析版）

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江苏省淮安市2017届高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.（5分）已知集合力={0,3,4},B={・1,0,2,3},则AQB=2.（5分）已知复数其中i为虚数单位，则复数z的模是1+13.（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S是・Whilci<6:U•S-2M3:EndWhile:•PrimS;4.（5分）现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽収50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是纤维长度频数[22.5,25.5)3[25.5,28.5)8[28.5,31.5)9[31.5,34.5)11[34.5,37.5)10[37.5,40.5)5[40.5,43.5]45.（5分）100张卡片上分别写有1,2,3,…，100,从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是・6.（5分）在平面直角坐标系兀Op，中，已知抛物线上一点P到焦点的距离为3,则点P的横坐标是•7.（5分）现有一个底面半径为3cm,母线长为5cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是cm.8.（5分）函数f（x）x?）的定义域是•9.（5分）已知{/}是公差不为0的等差数列，S”是其前〃项和，若a2a3=aAa5.S9=l,则⑦的值是. 1.（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆Cl：（x・4）?+（尹・8）2=1,圆C2：（x・6）2+（尸6）2=9.若圆心在X轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是•2.（5分）如图，在平面四边形ABCD中，O为3D的中点，且04=3,OC=5,^AB*AD=-7,则反•反的值是则tanC的最人值是13.（5分）己知函数/（%）=-x+m,x<00、其中加>0,若函数尸八/'&））・1有3个不x-1,x>0同的冬点，则加的取值范围是14.(5分)已知对任意的xER,3a(sinx+cosx)+2bsin2xW3(a,b$R)恒成立，则当a+b取得最小值时，Q的值是二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.15.（14分）已知sin（al兀）（=,兀）.4102求：（1）COS«的值；(2)sin(2a-的值.16.（14分）如图，在直三棱柱ABC・45Ci屮，/C丄BC,力出与4B、交于点D,与MG交于点E.求证：⑴DE〃平面BBCC；(2)平面ZiBC丄平面AXACC. 14.（14分）如图，在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆*I丫=1（a>b>0）的离心率a，『为寻，C为椭圆上位于第一象限内的一点.（1）若点C的坐标为（2,§）,求°,b的值；（2）设力为椭圆的左顶点，b为椭圆上一点，且ab=4oc,求直线的斜率.15.（16分）一缉私艇巡航至距领海边界线/（一条南北方向的直线）3.8海里的/处，发现在其北偏东30。方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.（1）若走私船沿止东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sinl7。心冬，V更85.7446）6（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由. 14.（16分）己知函数/（x）=—,g（X）=lnx,其中e为自然对数的底数.e（1）求函数y=f（x）g（x）在x=l处的切线方程；（2）若存在X1，%2（兀1工疋），使得g3）-g（也）=2[/'（兀2）-/（兀|）]成立，其中久为常数，求证：2>e；（3）若对任意的兀丘（0,1],不等式f（x）g（x）（x-1）恒成立，求实数q的取值范围.15.（16分）设数列仏｝的前/?项和为S”（weN*）,且满足:①|ai|H|ad；②厂(/7-p)S”+i=(/+/?)a“+(/72-A7-2)a,其中厂，pWR,且厂HO.(1)求〃的值；(2)数列S”｝能否是等比数列？请说明理由；(3)求证：当r=2时，数列｛冷｝是等差数列.A.［选修4・1：几何证明选讲］21・(10分)如图，已知内接于OO,连结力0并延长交。0于点D,ZACB=ZADC. 求证：4D・BC=24C・CD.A.［选修4・2：矩阵与变换］ 225分）设矩阵〃满足宀06-10-23,求矩阵/的逆矩阵力C.［选修4・4：坐标系与参数方程选讲］23.在平面直角坐标系xOy［A2（/为参数）与曲线｛a［y=t为参数）相交于儿B两点,求线段的长.D.［选修4・5：不等式选讲］24.设x,y9z均为正实数，且xyz=l,求证:【必做题】每小题10分，共计20分.25.（10分）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4 首进行演唱.（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为G（d为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2°,求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望.25.（10分）设/7EN*,有序数组（％,如…，Q”）经別次变换后得到数组（九,bm，2,…，bm,w）,其中b},i=a汁如,bm,汁味i，汁]（戶1,2,...»n）,an+i=a]fbm-（心2）.例如：有序数组（1,2,3）经1次变换后得到数组（1+2,2+3,3+1）,即（3,5,4）；经第2次变换后得到数组（8,9,7）.（1）若4=i（Z=1,2,…，77）,求虹5的值；m（2）求证：bm,,-=$2a/+/CwZ»其屮，=1，2,…，n.j=0 参考答案•、填空题1.{0,3}【解析】集合/={0,3,4},B={-1,0,2,3},则&QB={0,3}；故答案为：{0,3}=l-2i，_3-i_(3-i)(l-i)_2-4iZ1+i(l+i)(l-i)=2・•・lzl=Vl2+(-2)2=V5-故答案为：V5-3.17【解析】执行程序，有/=1满足条件/V6,/=3,S=9；满足条件/<6,1=5,5=13；满足条件/<6,/=7,5=17,不满足条件/<6,输出S的值为17.故答案为：17.4.180【解析】由频率分布表知：纤维长度不小于37.5mm的频率为：三歩=0.18,53・・・估计这1000根屮纤维长度不小于37.5mm的根数是1000X0.18=180.故答案为：180.5.—25【解析】在100张卡片上分别写上1至100这100个数字，从屮任取一张共有100种取法,其中所得卡片上的数字为6的倍数的数是：6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96共16个,・•・所得卡片上的数字为6的倍数的数共有16个.・・・所得卡片上的数字为6的倍数的概率P亠斐厂丰，故答案为：刍.10025256.2 【解析】・・•抛物线y=^x=2px,••p=2,由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,|PF|=x4-1=3,x=2,故答案为：2.7.彷【解析】设该铁球的半径为儿•・•底面半径为3cm,母线长为5cm的圆锥实心铁器，・・・锥体的母线、半径、高构成直角三角形，・・・治佇孑=4,锥体体积F^-XnX32X4=127i,3圆球体积二锥体体积TTF=12ti,解得尸彷•故答案为：8.[-2,2]【解析】由lg(5・,)20,得5-x2^l,即/W4,解得-2WxW2・・••函数f(x)=Vlg(5-x2)的定义域是[・2,2].故答案为：[・2,2].9-寺【解析】设等差数列仏｝的公差为〃(狞0),c9X8解得：a=故答案为:10・x2+y2=81【解析】由题意，圆C与圆G和圆C2的公共眩分別为圆G和圆C2的直径,(aj+d)(a|+2d)=(a|+3d)(a】+4d) 设C(x,0),贝!J(x-4)2+(0-8)2十1=(x-6)2+(0+6)2+9,・°・x=0,・••圆C的方程是x2+/=81.故答案为x2+y2=81.11.9【解析】平面四边形MCD中，O为的屮点，1.OA=3,OC=5fA0&-0D=0；若AB・AD=-7,则■：AO^OB)-(AO^OD)=ao2+AO-OD+AO-OB+OB-OD=N?+0A・(0IX0B)-OB2=32-0B2=■7；•一2••OBT6,A|0B|=|0D|=4；AEC>DC=(BO+OC)■(DO+-OC)=b6-d6+bo-oc+od-oc+oc=-bo^+OC*(BO+OD)+反$=-42+0+52=9.12.迟5【解析】T/B=c=2,AC2-BC2,=b1-/=6,由余弦定理可得:4=a2+Z>2-2abcosC,A—(b2-a2)=a2+b2-2abcosC,3(―)~-2X—XcosC-H-—=0>3bb3・•・可得:、：b>c,可得C为锐角, 又・・・tailc在（0,-y）上单调递增,.••当cosC半时，tanC取最大值,3故答案为：芈.513.(0,1)【解析】由题意，x<0,f(x)=-x+〃?>0,f(/(x))=(-x^m)2-1=0”则x=m±1当l>x$0,f(x)=x2-1<0,f(/(x))=・,+1+加=0,x=VThr：当x21,f(x)=x2-120,/(/(x))=(x2-1)2-1=0,.*.x=V2•••函数y=f0,:・m丘(0,1).故答案为(0,1).14.・仝5【解析】由题意可令sinr+cosx=・£,2两边平方可得l+2sinxcosx=±,4即有sin2x=-—,4代入3a(sinx十cosx)+2bsin2xW3,可得abW3,22可得a+b鼻~2>当a+b=-2时，令/=sinx+cosx=5/^in(x)[-V2»V2]»4即有sin2x=^2-1,代入3q(sirtv+cosx)+2bsin2xW3,可得・2/+3(2+b)f+3+2b$0,对re[-V2,叼恒成立，则Z=9(2+b)?+8b(3+2*)WO, 即为(5b+6)《0,但(5b+6)Go,则5b+6=0,可得b=_%d=-¥5564而当b=,a=时，3a(sinx+co&x)+2/?sin2x=-55?+3W3.(Cl)所以当a+b収得最小值-2,此时-¥5故答案为：5二、解答题15.解：(1)sin兀即sinacos+cosasin4410sinS+cosa=l•…②.(』)业,410—兀-^2,化简：sina+cosa=吉…①5由①②解得cosa=-3或cosa=-^55(―—,71).2・3…cosa=-—5兀(2)°：oW(―—>兀).2・•4..s a=—、53cosa=-—5那么：cos2a=l-2sin気=_・了sin2a=2sinacosa=—乙525・•-兀、.C兀c•兀17迈.>sin(2a)=sin2«coscoszasin——4445016•证明：(1)由题意，D、E分别为AyB,0C的中点,:.DE//BC,・：DEQ平面BBCCi，BCu平面5BCC|,・・・DE〃平面B、BCC；(2)*：AAX丄平面ABC,BCu平面ABC,:.AA｝丄BC,•・・/C丄BC,ACHAA^A,:.BC丄平面AXACCV•・・BCu平面 •••平面AiBC丄平而AiJCCi•17.解：（1）由题意可知：椭圆的离心率,則孚各①ay由点C在椭圆上，将（2,刍）代入椭圆方程，=1，②3a29b2解得：/=9,方J,・：a=3,b=yfs^u2c（2）方法一：由（1）可知：宁寻，则椭圆方程：5<+"2=5/,亠/9设直线0C的方程为兀=砒（加>0）,B（xp尹1）,C（◎旳），?9，消去x整理得：5m2y2^-9y2=5a2,5x2+9y^=5a2J—,由旳>0，则乃二fl5m+9V5m^+9由AB冷~OC,贝0AB//OC,设直线的方程为x=tny-a,tx=my-a_0°9,整理得：（5〃广+9）y-10g加尸0,5x2+9y=5a2“由尸0,或/芈匹5mz+9由AB=^~OC,贝!J（xi+a,尹1）=（寺辺，寺力），则尹2=2”，rn.i^5a…10am（、则—2X,（zx>0）,V5m+95m+9 解得：加芈，5则直线M的斜率丄-邛；m3方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2=5a则力（・a,0）,B（X[,尹]）,C（兀2，力），ftlAB=-^-0C，则（xi+a,尹1）=（£"X2，寺"2），则力=2刃，rtlB,C在椭圆上，则直线直线AB的斜率丄一里2.*23直线力3的斜率竽■.18.解:（1）设缉私艇在C处与走私船相遇，则AC=3BC./ABC中，由正弦定理可得sinZB4C=—二^,36・・・ZB4O17。，・•・缉私艇应向北偏东47。方向追击，22/XABC中，由余弦定理可得cos120。=丄廻耘也一，・・・BC〜1.68615.B到边界线/的距离为3.8-4sin30°=1.8,・・・1.68615V1.8,・・・能最短时间在领海内拦截成功；（2）以/为原点，建立如图所示的坐标系，则B（2,2近），设缉私艇在尸（x,y）出与走私船相遇，则P4=3PB, 即x2+）^2=9［（x-2）24-Cy-2a/3）勺，即（兀~专）？+（尹~£>/§）〜备的轨迹是以（鲁，#>/§）为圆心，寻为半径的圆，•・•圆心到边界线/：尸3.8的距离为1.55,大于圆的半径，・・・无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截.图甲18.解：（1）T（x）g（x）=—Xe兀=1时，尸0,”=丄，e故切线方程是：尸丄X■丄；ee（2）证明：由g（X1）-g（兀2）=人［/（兀2）（兀1）］，得：g（X］）+2f（兀1）=g（X2）+2/（兀2），令h(x)=g(x)+〃•(x)=lnx,(x>0),hf(x)=-^exxe令co(x)=ev-ax,则co'(x)=e'-2,由x>0,得cx>l,①久W1时，"(x)>0,3(x)递增，故刃(x)>0,/?(x)递增，不成立；②久>1吋，令co'(x)=0,解得：x=lnz,故血(x)在(0,ln2)递减，在(lnz,+°°)递增，：m(x)Me(ln2)=2・21nA,令加(A)=2-AlnA,(久>1),则〃r(x)=-lnZ<0,故加(x)递减，又〃？(e)=0,若2We,则〃7(z)MO,co(x)20,h(x)递增，不成立,若z>c,则〃7(z)<0,函数方(x)有增有减，满足题意， 故2>c；(3)若对任意的xG(0,1],不等式f(x)g(x)WqCx-1)恒成立,即如ex(x-1)W0在(0,1]恒成立,令F(x)a(x-1),xe(0,1],F(1)=0,xe—-lnx1F(x)-a,F(1)=±・g,exe1-x-11—lnx-e①F(1)WO时，F(x)W递减，eex而F(1)=0,故F(x)20,F(x)递增，F(x)WF(1)=0,成立，②F(1)>0时，则必存在xo,使得F(兀)>0,F(x)递增，F(x)