走进与圆有关的角

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1、走进与圆有关的角随着新课程改革的不断深入，各地中考命题都发生了很大的变化，尤其对于圆的考查，难度、内容与形式都有很大的改变，并且多数省、市都以计算或者简单探究解答题的形式来考查圆的知识，其中大多涉及到与圆有关的角：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．主要考查同学们的观察、分析、推理及运用知识、发现创新能力。现就以精选几个与圆有关的角为例进行分析与说明，希望能给同学们带来启示与帮助。例1：如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝1000，点P在△ABC的外部，并且PC＝BC，求∠APB的度数。思路点拨：由题中的条件AC＝BC＝PC，联想到圆的定义，画

2、出以点C为圆心，AC为半径的圆，巧妙地构造出圆心角∠ACB＝1000，圆周角∠APB＝500问题，使此题得以突破与解决。解析：∵AC＝BC，PC＝BC∴A、B、P三点在以C为圆心，AC为半径的圆上若P、C在AB的同侧，则∠APB＝∠ACB∵∠ACB＝1000，∴∠APB＝500若P、C在AB的异侧，则∠APB＝1800－50＝1300例2：.如图，BC为半圆O的直径，点F是弧BC上一动点（点F不与B、C重合），A是弧BF上的中点，设∠FBC=α,∠ACB=β.⑴当α＝50°时，求β的度数。⑵猜想α与β之间的关系，并给与证明。思路点拨：解此题的关键是把握圆周角与所对弧的度数之间的关系。解析

3、：⑴连结FC，∵BC为半圆O的直径∴∠BFC＝90°∵A是弧BF上的中点　　∴∠ACB＝∠BCF＝（90°－50°）＝20°⑵α＋2β=90°∵A是弧BF上的中点　　∴∠ACB＝∠BCF＝（90°－α）＝β即α＋2β=90°3/3例3：如图，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O-C-D-O的路线作匀速运动.设运动时间为秒,∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是().思路点拨与解析：解决动态问题的关键是动中化静，要善于抓住运动变化过程中暂时静止的某一瞬间，进行观察联想，猜测，分析，归纳，总结，寻找出变量关系式。动点从圆心出发，沿路线作匀速运

4、动，主要是观察和分析圆心角、圆周角及圆的内部角之间的关系，当点P在O时为圆心角为90°，当点P在弧DC上运动时为圆周角始终为45°，当点P在线段OC与OD上运动时，∠APB的值始终在45°～90°之间，故本题选C。例4：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．(1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．（3）连CD，设∠BDC=，∠ABC=，探究与之间的关系式，并给给予适当的说明。思路点拨：根据垂径定理及推论可得出线段相等、角相等=线段平等、三角形全等或相似等结论；同时利用构造勾股定理列出方程求出圆的半径；利用直径所对的圆周角为直

5、角及及圆内接四边形对角互补等进行分析与探究。解析：(1)不同类型的正确结论有：①BC=CE;②弧CD=弧BD③∠BED=90°④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD，⑥AC⊥BC;⑦OE2+BE2=OB2;⑧S△ABC＝BC·OE;⑨△BOD是等腰三角形，⑩△BOE∽△BAC;等(2)∵OD⊥BC，∴BE＝CE=BC=4．设⊙O的半径为R，则OE=OD-DE=R-2．在Rt△OEB中，由勾股定理得OE2＋BE2=OB2，即(R-2)2＋42=R2．3/3解得R＝5．∴⊙O的半径为5．(3)与之间的关系式是-=90°；理由是;∵AB为⊙O的直径，∴∠A+∠ABC=90°；又∵四边形ABCD为圆内接

6、四边形，∴∠A+∠BDC=180°；∴∠CDB-∠ABC=90°；即-=90°；实战演练如图，AD是⊙O的直径．(1)　如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是　　　　　　，∠B2的度数是　　　　　　；(2)　如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；(3)　如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案)．DBnAOB1Bn-2C1B2C2B3C3Cn-2Bn-1Cn-1Cn……图③ODAB1C1B2C

7、2C3B3图②AODB1B2C1C2图①实战演练参考答案解：(1)　22.5°，67.5°(2)　∵圆周被6等分，∴=360°÷6＝60°．∵直径AD⊥B1C1，∴=的度数=30°，∴∠B1的度数=15°．∠B2的度数=×(30°＋60°)=45°，∠B3的度数=×(30°＋60°＋60°)=75°．(3)　(或)3/3