与圆有关的角.doc

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8-4与圆有关的角知识考点：1、掌握与圆有关的角，如圆心角、圆周角、弦切角等概念；2、掌握圆心角的度数等于它所对弧的度数；3、掌握圆周角定理及其推论；4、掌握弦切角定理及其推论；5、掌握各角之间的转化及其综合运用。精典例题：【例1】如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝1000，点P在△ABC的外部，并且PC＝BC，求∠APB的度数。分析：注意条件AC＝BC＝PC，联想到圆的定义，画出以点C为圆心，AC为半径的圆，问题则得以解决。解：∵AC＝BC，PC＝BC∴A、B、P三点在以C为圆心，AC为半径的圆上若P、C在AB的同侧，则∠APB＝∠ACB∵∠ACB＝1000，∴∠APB＝500若P、C在AB的异侧，则∠APB＝1800－50＝1300【例2】如图，在△ABC中，∠B＝900，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC切于点D，直线ED交BC的延长线于F，若AD∶AE＝2∶1，求cot∠F的值。分析：由AD∶AE＝2∶1和△ADE∽△ABD有DE∶DB＝1∶2，而∠F＝∠EBD，则cot∠F＝cot∠EBD＝，故结论得证。解：连结BD∵AC为⊙O的切线，∴∠1＝∠2∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABD∴，即∴∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE＝900∴∠2＋∠BEF＝900，∵∠F＋∠BEF＝900，∴∠2＝∠F∴cot∠F＝cot∠2＝＝2【例3】如图，由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F、G，连结AF并延长交△BGF的外接圆于H，连结GH、BH。（1）求证：△DFA∽△HBG；（2）过A点引圆的切线AE，E为切点，AE＝，CF∶FB＝1∶2，求AB的长；（3）在（2）的条件下，又知AD＝6，求tan∠HBG的值。分析：（1）证∠DAF＝∠AFB＝∠BGH，∠DFA＝∠HFG＝∠HBG即可；（2）由DC∥AG，得CF∶FB＝CD∶BG＝1∶2，则AB∶AG＝1∶3，由切割线定理得AB＝3；（3）由（2）知AB＝3，AG＝9，过A作AQ⊥DG于Q。由得。所以DF＝DG＝。由 得，所以。故tan∠HBG＝tan∠HFG＝tan∠QFA＝＝18。探索与创新：【问题一】如图，已知，半圆的直径AB＝6cm，CD是半圆上长为2cm的弦，问：当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是定值吗？若是，试求出这个定角的正弦值；若不是，请说明理由。分析：本题有一定难度，连结BC（或AD）可构成直角三角形，这是遇直径常用的辅助线。解；连结BC∵CD为定长，虽CD滑动，但的度数不变，∴∠PBC为定值∴∠P＝∠ACP－∠PBC＝900－∠PBC为定值∵∠PCD＝∠PBA，∴△PCD∽△PBA∴在Rt△PBC中，cos∠P＝，∴sin∠P＝评注：本题是在变中寻不变，有一定的难度，但考虑到常用的辅助线――直径，问题便迎刃而解了。变式：如图，BC与AD交于E，其它条件与上题一致，问∠P与∠DEB的大小关系？分析：∵AB为直径，则∠PCB＝∠ADB＝900，而cos∠P＝，又∵△CED∽△AEB，∴＝cos∠DEB。∴cos∠P＝cos∠DEB，故∠P与∠DEB的大小相等。【问题二】如图，AB是⊙O的直径，弦（非直径）CD⊥AB，P是⊙O上不同于C、D的任一点。（1）当点P在劣弧CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P在优弧CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何？并证明你的结论（不讨论P与A重合的情形）。分析：（1）P在劣弧CD上运动时，∠APC＝∠APD，利用垂径定理及圆周角定理易证；（2）P在优弧CD上运动时，∠APC＋∠APD＝1800，∠APC所对的弧是，∠APD所对的弧是，而，的度数和等于的度数和，等于3600，由圆周角定理易证明得到结论。跟踪训练： 一、选择题：1、下列命题中，正确的命题个数是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；③900的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等。A、1个B、2个C、3个D、4个2、已知AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝500，点P是⊙O上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（）A、650B、1150C、650或1150D、1300或5003、O为锐角△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则OD∶OE∶OF为（）A、a:b:cB、1/a:1/b:1/cC、cosA∶cosB∶cosCD、sinA∶sinB∶sinC4、如图，AB是⊙O的直径，DB、DC分别切⊙O于B、C，若∠ACE＝250，则∠D为（）A、500B、550C、600D、6505、如图，⊙O经过⊙O1的圆心O1，∠ADB＝，∠ACD＝，则与之间的关系是（）A、＝B、C、D、二、填空题：6、如图，四边形ABCD内接于⊙O，则＝。7、如图，A、B、C是⊙O上的三个点，当BC平分∠ABO时，能得出结论（任写一个）。8、如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2＝。9、如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于C，延长PO交⊙O于点B，PA＝AB，PD平分∠APB交AB于点D，则∠ADP＝。10、如图，已知直径AB⊥CD于E，∠COB＝，则＝。 11、如图，⊙O1与⊙O2为两个等圆，O1在⊙O2上，O2在⊙O1上，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，过B的直线交⊙O1于C，交⊙O2于D，过C作⊙O1的切线CE与过D作⊙O2的切线DE交于E，则∠E＝。三、计算题或证明题：12、如图，已知P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，OP与AB相交于点M，C为上一点。求证：∠OPC＝∠OCM。13、如图，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，点O1在⊙O2上，⊙O2的弦O1C交AB、⊙O1于D、E。求证：（1）AO12=O1D·O1C（2）E为△ABC的内心。14、如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC。（1）求证：FB＝FC；（2）；（3）若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC＝1200，BC＝6cm，求AD的长。 15、如图，⊙O的直径AB＝6，P为AB上一点，过P作⊙O的弦CD，连结AC、BC，设∠BCD＝∠ACD，当时，是否存在正实数，使弦CD最短？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。16、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF∶FD＝4∶3。（1）求证：AF＝DF；（2）求∠AED的余弦值；（3）如果BD＝10，求△ABC的面积。 参考答案一、选择题：ACCAD二、填空题：6、1400；7、OC∥AB等；8、900；9、450；10、1；11、1200三、计算题或证明题：12、提示：连结OA，，∴，又∠O是公共角，△OCM∽△OPC。13、略证：（1）连结，O1B，由O1A＝O1B可得∠O1AD＝∠O1CA，∠AO1D是公共角，∴△O1AD∽△O1CA；（2）连结AE、BE，由∠ABE＝∠AO1C＝∠ABC，∠BAE＝∠BO1E＝∠BAC。14、（1）（2）略；（3）cm。15、解：连结OD，设存在正实数，则在⊙O中过P点的所有弦中，只有垂直于直径的弦最短。∴CP⊥AB于P。∵，设AP＝，则BP＝，又AB＝6∴，解得∴OP＝OA－AP＝＝在Rt△POD中，cos∠POD＝，∴∠POD＝300，∠ACD＝150∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝900∴∠BCD＝900－150＝750∵∠BCD＝∠ACD∴＝5，即存在正实数，使CD弦最短。16、（1）先证∠ADE＝∠DAE；（2）作AN⊥BE于N，设FE＝，FD＝，可求DE＝，由得：AN＝，可得EN＝，cos∠AED＝；（3）△CAE∽△ABE，。