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《23.利用平方和为定值.构圆巧解函数试题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、[中国高考数学母题一千题](第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)利用平方和为定值.构圆巧解函数试题构圆.寻找函数试题的几何解法数形结合是数学中的重要思想和解题方法,也是高考重点考查的对象,构造法是数形结合的典范,其基本特点之一是通过构造,把代数问题转化为几何问题;圆是基本的构造对象,利用变量的平方和为定值是构圆的方法之一.[母题结构]:己知两变量a、b的平方和a2+b2=r2(r>0)为定值,求解关于变量a、b的函数F(a,b)的问题.[解题程序]:首先寻找或构造两变量a、b,使得a2+b2=r2(r>0)为定值,然后,把a2+b2=
2、r2,视为在直角坐标系aOb中的圆,最后,通过寻找或构造函数F(a,b)的几何意义,直观解决函数F(a,b)的问题.1.函数f(x)=a+b的值域子题类型Ⅰ:(2008年重庆高考试题.2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数y=+的最大值为M,最小值为m,则的值为.[解析]:令X=,Y=,则X≥0,Y≥0,且X2+Y2=4,y=X+Y点P(X,Y)在如图所示的圆弧上时,直线X+Y=y在Y轴上截距y的最大值ymax=M=2,ymin=m=2=.[点评]:求函数f(x)=a+b的值域:①令两变量X=,Y=(X≥0,Y≥0);②由X2+Y2=m+n作圆(第一象限);③由直线l
3、:aX+bY=f(x)与四分之一圆弧相交,直观分析求解直线l在Y轴上截距.2.三角换元后,由cos2θ+sin2θ=1构圆子题类型Ⅱ:(2010年全国高中数学联赛江西初赛试题)函数f(x)=的值域是.[解析]:设x=cosα,且α∈[0,π].则f(x)==,作P(cosα,sinα),A(-2,0),则f(x)=kAP∈[0,].[点评]:由cos2θ+sin2θ=1构圆解题的关键是进行三角换元,使函数f(x)转化为关于sinθ与cosθ的函数F(sinθ,cosθ),通过令点P(sinθ,cosθ),构造单位圆,并由此寻找或构造函数F(sinθ,cosθ)的几何意义求解.3
4、.求a2+b2的最小值的方法子题类型Ⅲ:(2014年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知函数f(x)=x2+ax+++b(x∈R,且x≠0),若实数a、b使得f(x)=0有实根,求a2+b2的最小值.[解析]:令a2+b2=r2(r>0),x+=t,则
5、t
6、=
7、x+
8、≥2,且x2+=t2-2;由f(x)=0x2+ax+++b=0(x+)a+b+(x2+)=0ta+b+(t2-2)=0;在直角坐标系aOb中,由直线l:ta+b+(t2-2)=0与圆O:a2+b2=r2相交r≥=
9、-
10、≥
11、-
12、=r≥a2+b2=r2≥,当且仅当x=1a=,b=时,等号成立(a2+b2)min=.[点评
13、]:求a2+b2的最小值,首先令a2+b2=r2(r>0),并把a2+b2=r2,视为在直角坐标系aOb中的圆O,然后,把已知条件转化为关于变量a与b的直线l,由直线l与圆O相交r≥圆心O到直线l的距离d,求d的最小值d0,得a2+b2的最小值=d02.4.子题系列:1.(2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)函数y=+的最大值是,最小值是.2.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=+的最大值是.3.(2000年全国高考试题)若函数f(x)=-ax(a>0)在[0,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是.4.(2002年全国高中数学联赛上海初
14、赛试题)已知函数f(x)=(1-x+),x∈[2,4],则该函数的值域是_____.5.(2013年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设二次函数f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3,4]上至少有一个零点.求a2+b2的最小值.6.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知a,b∈R,关于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一个实根,求a2+b2的最小值.7.(2014年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)已知a=xb+yc(x,y∈R),
15、a
16、=
17、b
18、=2,
19、c
20、=1,(a-c)(b-c)=0,则
21、a-b
22、的取值范围是.5.子题详解:1.解:
23、取点P(,),点P在四分之一圆弧C:x2+y2=3(x≥0,y≥0)上,u=x+y,直线x+y=u在x轴上的截矩u满足:≤u≤.2.解:取点P(,),点P在四分之一圆弧C:x2+y2=3(x≥0,y≥0)上,u=x+y,直线x+y=u在x轴上的截矩u满足:≤u≤2.3.解:令x=tanα,α∈(-,),则f(x)=-atanα==a,取单位圆上的点P(cosα,sinα),令A(0,),则-kPA==f(x),由f(x)递减kPA递增≤1a≥1.4.解:由f(x)=(1-x+)=(-1+)=
