巧构函数解竞赛题或高考题.pdf

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1、第3期中学教师论坛117巧构函数解竞赛题或高考题吴立宝~何童丽(西华师范大学数学系~四川南充637OO2)在数学解题活动中~当常规的推理不能奏效时~更多地需要对问题的条件和结论所提供的信息(如图形~数量~结构等)进行观察~广泛联想~创造出沟通已知与未知之间的桥梁~即通过构造一定的数学模型~来打开解题的通道~这种解题方法称为构造法G历史上有许多的数学家曾用构造方法成功地解决了数学上的难题~如欧几里德在<几何原本>中证明"素数的个数是无限的H就是一个典型的范例9再如数学分析中~拉格朗日中值定理与柯西中值定理的证明就分别构造了辅助函数G函数思想是高中数学中的重要思想之一G本文就从所给方程和不等式的

2、条件特征出发~构想组合一种新的函数关系~使其实现转化~通过对构造函数的研究~利用函数的一些性态如单调性~奇偶性来解决国内外的数学竞赛或高考题G1.巧解方程(组)函数与方程是紧密联系在一起的~方程是函数的特殊情况G那么在求解方程时可以巧妙地构造函数来帮助拓宽思路G例1解方程(:2332-2O:+38)=:-:+8:-152分析:若展开求解将会得到一个一元六次方程~很难求解G因此需要另辟途径~先将方程变形为(:23-2O:+38)+2332(:-2O:+38)=:+:~令(:)=:+:~则等式左边即为(:-2O:+38)~在结合函数的单调性来求解G解:原方程可变形为(:2323-2O:+38)+

3、(:-2O:+38)=:+:~构造三次函数(:)=:32+:~从而原方程可化为(:-2O:+38)=(:)因为(:)=:322+:在R上单调递增~所以:-2O:+38=:~即:-21:+38=O~解得:1=2~:2=19G例2(1997年高中数学联赛试题)设:~y为实数~且满足3(:-1)+1997(:-1)=-1则:+y={3(y-1)+1997(y-1)=1分析:本题直接求解不容易~而由题设方程组的整齐有规律的排列~可启示我们构造三次函数(:)=:3+1997:~那么解题就简单了G解:构造三次函数(:)=:3+1997:~它是奇函数~且在R上单调递增由已知条件得(:-1)=-1~(y-1

4、)=1所以(:-1)=-(y-1)~于是:-1=1-y~:+y=23TT:+sin:-2a=O例3(199年高中数学联赛试题)已知:~yEI-~]~aER~且{y3+sinycosy+a=O则cos(:+2y)=分析:这是一道关于三角函数的超越方程~如用三角方法解~非常麻烦~然而巧用韦达定理逆定理~构造三次函数~再运用函数的单调性~则简捷明了~别具一格G解:因为:33+sin:-2a=O~又(-2y)+sin(-2y)-2a=O所以:与-2y是方程t3+sint-2a=O的两个根G令(t)=t3+sint-2a在tEI-T~T]上为单调递增函数G22所以:=-2y~故cos(:+2y)=co

5、sO=1例(前苏联高考试题)解方程3:::+=5分析:由观察知:=2是方程的一个根~那么方程还有其它根吗?这是需要解决的G解:原方程等价于3I:+I:=1~明显:>OG55构造函数(:)=3I:+I:~显然(2)=1~故:=2是方程的一个根~55~ll8~安庆师范学院学报(自然科学版)2OO4年又E3Js与E4Js都是减函数所以f(s)也是减函数G55当s>2时f(s)l因此原方程只有一个根s=2G2.妙证不等式分析(l998年全国高考试题)证明:(l+l)(l+l)(l+l)-El+lJ>~2n+l(n=l23-)352n-l分析:仔细观察式子结构引入函数lll(

6、l+l)(l+)(l+)-El+J352s-lf(s)=(sN)于是要证f(s)>lG再从函数的单调性入手又证此函数是~2s+l增函数即可G当sN)时llll(l+l)El+JEl+J-El+JEl+Jf(s+l)352s-l2s+l=f(s)~2s+3~2s+l~lll(l+l)El+JEl+J-El+J352s-llEl+J~2s+l2s+l2s+2==>l~2s+3~2-l(2s+2)lll(l+l)El+JEl+J-El+J所以f(s)是增函数则f(s)=352s-lZf(l)=2>l~2s+l~3故命题成立G例7(第24届前苏联中学生十年级数学奥林匹克试题)已知c均为实数且clc2

7、c3-cnl+c2+c3-+cn=l222求证cl+c2+-+cnZlcl+c2c2+c3cn+cl2证明:构造函数cl2c22cn2f(s)=Es-~cl+c2J+Es-~c2+c3J+-+Es-~cn+clJ~cl+c2~c2+c3~cn+cl222clc2cn2=E++-+Js-2(cl+c2+-+cn)s+2(cl+c2+-+cn)cl+c2c2+c3cn+cl222clc2cn2=E++-+Js-2