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1、巧构正方体，妙解高考题DCBA图12006年高考数学试题江西卷的立体几何题是这样的：如图1，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形.(1)求证：AD^BC；(2)求二面角B－AC－D的大小；(3)在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由.MExzyDCOBA图2本题用综合法（传统方法）来解难度较大，甚感“山重水复疑无路”，若能根据题目条件构造正方体来解，便能“柳暗花明又一村”了.分析：因为题目条
2、件中有“ABD、ACD是全等的直角三角形”、“AD＝，BD＝CD＝1”、“正三角形”等条件，所以我们容易联想到正方体，从而构造出如图所示的棱长为1的正方体了.因此以下的解法也就再自然不过了.解(1)如图2,构造棱长为1的正方体.以D为原点，以DB为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系.则B（1,0,0）,C(0,1,0),A(1,1,1),,,∴∴BC⊥AD.(2)设平面ABC的法向量为，则由同理由∴.不妨取.同理可求得平面ACD的一个法向量为，∴cos=,又由图可以看出，二面角为锐二面角，∴所求的二面角的大小为arccos.(3)设E
3、(x,y,z)是线段AC上的一点，过点E作面BCD的垂线段EM，则MC=EM，∴x=z>0,y=1,∴.又平面BCD的一个法向量为，要使ED与面BCD成30角，由图可知只要，∴cos=,∴,∴.故在线段AC上存在点E，当CE=1时，ED与面BCD成30角.正方体是一种特殊且重要的多面体，它含有丰富的线线、线面和面面等位置关系．一道立体几何题，如果能通过构造正方体来解，不仅方法简捷自然，而且还可以利用空间向量这一工具降低思维难度.所以有关能通过构造正方体来解的题深受高考命题教师的青睐.下面再通过几个例子来说明这种方法的运用．例1(200
4、3年全国高考题)一个正四面体的所有棱长都是，四个顶点在一个球面上，则此球的表面积为（ ）.(A)3 (B)4 (C)3 (D)6解：以正四面体的各棱为正方体的面对角线，构造棱长为1的正方体，显然所求的球就是棱长为1的正方体的外接球，设球的半径为R，即有2R＝．则故选(A)．例2(2002年全国高考题)如图3，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a.（I）求MN的长；（II）当a为何值时，MN的长最小；（III）当MN长最小时，
5、求面MNA与面MNB所成的二面角的大小.AF 图3 图4 解：(Ⅰ)可求得MN=．(Ⅱ)由（I）MN=，故当时，．即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为．(Ⅲ)以正方形ABCD、ABEF为相邻面构造正方体，如图4，面MNA与面MNB所成的角，即为面MNA与面CF1E所成的角(因为面MNB∥面CF1E)．在正四面体AEF1C中，易求得两个相邻面所成二面角的余弦为－，∴二面角A—MN—B的大小为－arccos．例3(2004年北京春季高考题)如图5，四棱
6、锥的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，． 图5 图6 （I）求证BC⊥SC；（II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.解：（I）∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，∴可以把四棱锥补形为长方体A1B1C1S-ABCD，如图6，由正方形ABCD的边长为1,且SB＝知SD=1，故长方体A1B1C1S-ABC
7、D是棱长为1的正方体．（I）在正方体A1B1C1S-ABCD中，显然有BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC． （II）在正方体A1B1C1S-ABCD中，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角． 而∠CSD即为其平面角, 又∠CSD=45， ∴面ASD与面BSC所成的二面角的大小为45．（III）在正方体A1B1C1S-ABCD中，M即是面对角线A1D的中点，∴DM⊥SA．又SA是SB在面ASD上的射影，由三垂线定理得DM⊥SB，∴异面直线DM与SB所成的角为90．练习题PCBAPCABPABC1、在
8、球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面面积是.分析PA、PB、PC两两垂直很容易想到PABC位于一个正方体中，从而构造正方体.解如图，满足条件的正方体的四个顶点P
