双曲线教案设计

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1、《2.2.1双曲线及其标准方程》教学设计《2.2.1双曲线及其标准方程》教学设计教学目标：（1）理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程.（2）通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生观察问题、探究问题、归纳问题的能力.（3）亲历双曲线及其标准方程的获得过程，体会数学的理性与严谨，感受数学美的熏陶.教学重点：理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程.教学难点：双曲线标准方程的推导与化简.教学方法：启发式与探究式相结合.教学过程与操作设计：（一）创设情景，引入课题1、知识回顾问题1：椭圆的定

2、义是什么？问题2：若把椭圆定义中的“与两定点的距离之和”改为“距离之差”，这时轨迹又是什么呢？也就是：平面内与两定点、距离的差等于一个非零常数的点的轨迹是什么图形？【设计意图】通过一个知识冲突的教学情景，由和到差，不仅加强新旧知识的联系，而且通过学生类比和与差，促进学生思考，激发他们的求知欲望．2、观察动画、动手作图取出生活中常见的一条拉链，随着拉链的拉开闭合，通过观察，引导学生思考拉链拉开的两部分长度的内在联系．通过播放这个拉链的演示实验，让学生观察动画，了解双曲线的画法，再由学生画另一支曲线．最后教师给出这两条曲线合起来叫双曲

3、线，其中每一条叫双曲线的一支，顺利引入课题．【设计意图】通过观察动画和动手作图，使学生从空洞的数学分析转化为感受图形的实际变化．这一环节使学生体会双曲线定义的获得过程，培养了学生观察、归纳能力．（二）探究发现，挖掘新知1、定义的归纳（1）提出问题1：这条曲线上的点满足的条件?同样使学生找到另一条曲线上的点满足的条件．提出问题2：用一个数学式子表达这两条曲线上的点满足的条件．根据讨论总结出：1、（1）

4、MF1

5、-

6、MF2

7、=

8、F2F

9、=2a(2)

10、MF2

11、-

12、MF1

13、=

14、F1F

15、=2a2、

16、

17、MF1

18、-

19、MF2

20、

21、=2a2a是定值,

22、2a<

23、F1F2

24、.通过以上分析，由学生归纳双曲线定义．【设计意图】通过自主探究，体会双曲线任一点所满足的条件，提高学生分析问题、归纳问题的能力．（2）通过椭圆和双曲线的定义的学习,知道它们是满足一定条件的点的轨迹,让学生发现两个定义的区别.教师总结学习定义的作用,可以用来判断曲线的形状．【设计意图】通过师生、生生的交流合作，使学生理解双曲线定义．学会利用定义判断曲线形状．2、标准方程的推导（1）学习了双曲线定义后给出两组图片,一组是学生熟悉的热电厂冷却塔和广州新电视塔,它们的外形与轴截面的交线是双曲线.另一组是飞机导航的双曲线定

25、位法和创建的双曲线型交通结构.【设计意图】这些图片使学生感受到数学美，体会数学的实用性，对双曲线进一步形成清晰的感性认知，为推导双曲线标准方程的理性认知打下基础．（2）了解了双曲线的定义后，我们下面来研究一下双曲线的标准方程怎样推导，请大家类比椭圆方程的推导过程,说出双曲线标准方程推导步骤是什么（请学生回答教师给予点评）【设计意图】进一步巩固用类比的方法解决圆锥曲线的问题．由于学生没有学习一般曲线的轨迹推导步骤,所以不用上升的理论太高,只需让学生类比椭圆即可.【问题解决】①建系以所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立直角坐标系.

26、②设点设双曲线上任意一点,双曲线的焦距为(),,,常数③列式即④化简得两边同除以得令()代人得其中这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在轴上.讨论：以上是焦点在轴上的情况，对于焦点在轴上的情形是什么样的呢？【设计意图】在第四步化简过程中，由于学生已经学习过椭圆标准方程的化简，学生根据两方程形式的相似性，学生很容易使用同样的方法化简.因此，将本式子的化简作为一个研究性题目，交由各小组讨论，在课堂上展示本题后，通过教师巡视，请化简较好的小组派代表在黑板上书写，顺利突破难点．此环节使学生经历双曲线标准方程的获得过程，体验数形结合思想

27、在解决几何问题的优越性，形成锲而不舍的钻研精神和科学的态度．3、方程的对比推导出双曲线的两种标准方程后，让学生通过找出他们的相同点、不同点，自己探究出根据标准方程判断焦点位置的方法，同时回忆椭圆中的判断方法，起到复习对比作用．(三)题组训练、应用新知练习1、判断下列方程哪些表示双曲线？（1）（2）（3）（4）练习2、方程是否表示双曲线？【设计意图】第一题让学生学会利用方程判断曲线的形状和求焦点坐标，第二题让学生深化利用双曲线标准方程判断焦点位置的方法.【例题讲解】例1已知两定点为，求动点M到F1、F2的距离的差的绝对值等于6的轨迹

28、方程.变式1、若已知F1(0，-5)，F2(0，5).2、例1改求“动点M到F1、F2的距离的差等于6的轨迹方程”.【设计意图】本例题是书本例题的改动，既考察了定义的理解，又考察了待定系数法求曲线方程.变式训练1、通过定点位置的变化引起方程形式的变