2020版高考数学第八章平面解析几何第二节两条直线的交点与距离公式学案理（含解析）新人教A版

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1、第二节　两条直线的交点与距离公式2019考纲考题考情1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2。特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行。与Ax＋By＋C＝0平行的直线，可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)。(2)两条直线垂直：如果两条直线l1、l2斜率存在，设为k1、k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1。特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直。与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋n＝0。2．两直线相交(1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋

2、C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应。(2)相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解。(3)平行⇔方程组无解。(4)重合⇔方程组有无数个解。3．三种距离公式(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离为

3、AB

4、＝。(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝。(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d＝。4．对称问题(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)。(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P

5、′(x′，y′)，则有可求出x′，y′。1．两直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0。2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2。3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式。(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等。一、走进教材1．(必修2P101A组T10改编)已知P(－2，m)，Q

6、(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________。解析　由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1。答案　12．(必修2P114A组T10改编)已知直线3x＋y－3＝0与直线6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(　　)A．4B．C．D．解析　由两直线平行，可得m＝2，直线3x＋y－3＝0变形为6x＋2y－6＝0，所以两直线间的距离d＝＝。故选D。答案　D二、走近高考3．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离。当θ，m变化时，d的最大值为(　　)A．1　　　　B．2C．3　　　　D．

7、4解析　由题意可得d＝＝＝＝，因为－1≤sin(θ－φ)≤1，所以≤d≤，＝1＋，所以当m＝0时，d取最大值3。故选C。解法一：因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又x－my－2＝0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(－1,0)到直线x＝2的距离即为d的最大值。故选C。解法二：P是圆x2＋y2＝1上的动点，圆心(0,0)到直线x－my－2＝0的距离d＝≤2，所以点P到直线x－my－2＝0的距离的最大值为3。答案　C三、走出误区微提醒：①判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况；②求平行线间距离忽视x，y的系数相同。4．若直线

8、l1：x＋y－1＝0与直线l2：x＋a2y＋a＝0平行，则实数a＝________。解析　因为直线l1的斜率k1＝－1，l1∥l2，所以a2＝1，且a≠－1，所以a＝1。答案　15．已知P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则

9、PQ

10、的最小值为________。解析　先把两直线方程化为同系数方程：6x＋8y－24＝0和6x＋8y＋5＝0，

11、PQ

12、的最小值即为两平行直线间的距离，故d＝＝。答案　6．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为__________________。解析　过两直线交点的直线系方程为x－

13、3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0。答案　3x＋19y＝0考点一两条直线的平行与垂直问题【例1】　(1)已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3。若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)A．－10B．－2C．0D．8(2)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直