2020版高考数学第二章函数、导数及其应用第四节二次函数与幂函数学案文（含解析）新人教A版

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1、第四节　二次函数与幂函数2019考纲考题考情1．幂函数(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中底数x是自变量，α是常数。(2)幂函数的图象比较：2．二次函数(1)解析式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)。顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)。两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)。(2)图象与性质：解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在x∈上单调递增在x∈上单调递减在x∈上单调递增在x∈上单调递减奇偶性当b

2、＝0时为偶函数顶点对称性图象关于直线x＝－成轴对称图形　与二次函数有关的不等式恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是(3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min。一、走进教材1．(必修1P79习题T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)A．　　　　B．1　　　　C．　　　　D．2解析　因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1。又f(x)的图象过点，所以α＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝。故选

3、C。答案　C2．(必修1P39B组T1改编)函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，则y的最小值为________。解析　函数y＝2x2－6x＋3＝22－的图象的对称轴为直线x＝>1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减，所以ymin＝2－6＋3＝－1。答案　－1二、走近高考3．(2017·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　)A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关解析　设x1，x2分别是函数f(x)在

4、[0,1]上的最小值点与最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b。所以M－m＝x－x＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关。故选B。答案　B三、走出误区微提醒：①二次函数解析式形式选择不恰当，致使运算量偏大；②幂函数定义不清晰，导致出错；③二次函数在给定区间上的恒成立问题忽视给定区间的作用致误。4．已知某二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为(　　)A．y＝2(x－1)2＋3B．y＝2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋3D．y＝－2(x＋1)2＋3解

5、析　设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3。故选D。答案　D5．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上递减。解析　设y＝f(x)＝xα，因为图象过点，代入解析式得α＝－，则y＝x，由性质可知函数y＝x在(0，＋∞)上递减。答案　y＝x　(0，＋∞)6．已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________。解析　f(x)>2x＋m等价于x2－x

6、＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可。因为g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－m－1。由－m－1>0，得m<－1。因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)。答案　(－∞，－1)考点一幂函数的图象及性质【例1】　(1)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减

7、函数，则n的值为(　　)A．－3B．1C．2D．1或2(2)若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜c解析　(1)由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意。故选B。(2)因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝＞b＝，因为y＝x是减函数，所以a＝＜c＝，所以b＜a＜c。故选D。答案　(1)B　(2)D1．对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域。根据α＜0,0＜α＜1

8、，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定。2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较。【变式训练】　已知函数f(x)＝(m