2020版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第9讲直线与圆锥曲线的位置关系教案理新人教A版

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1、第9讲　直线与圆锥曲线的位置关系基础知识整合1．直线与圆锥曲线的位置关系要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，可把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或消去x)得到关于x(或关于y)的一元二次方程．如联立后得到以下方程：Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)，Δ＝B2－4AC.若Δ<0，则直线与圆锥曲线没有公共点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线有且只有一个公共点；若Δ>0，则直线与圆锥曲线有两个不同的公共点．2．弦长公式直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程．当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交，设交点为A(x1，y1)，

2、B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则直线被圆锥曲线截得的弦长

3、AB

4、＝＝＝·.再利用根与系数的关系得出x1＋x2，x1x2的值，代入上式计算即可．3．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．(2)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐

5、标和斜率的关系．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解决直线与圆锥曲线关系问题的一般方法(1)解决焦点弦(过圆锥曲线焦点的弦)的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义．(2)已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．(3)圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解．1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)A．相交B．相切C．相离D．不确定答案　A解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1

6、,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)A．(1，)B．(1，]C．(，＋∞)D．[，＋∞)答案　C解析　因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得>2，所以e＝＝>＝.3．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　)A．有且只有一条B．有且只有两条C．有且只有三条D．有且只有四条答案　B解析　若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为y＝k，代入

7、抛物线y2＝2x，得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，因为A，B两点的横坐标之和为2.所以k＝±.所以这样的直线有两条．4．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)A．5B．6C．7D．8答案　D解析　根据题意，过点(－2,0)且斜率为的直线方程为y＝(x＋2)，与抛物线方程联立消去x并整理，得y2－6y＋8＝0，解得M(1,2)，N(4,4)，又F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，从而可以求得·＝0×3＋2×4＝8，故选D.5．(2018·山西阳泉质检)椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y－

8、1＝0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为________．答案　解析　解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，所以kOM＝＝，kAB＝＝－1，由AB的中点为M可得x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.由A，B在椭圆上，可得两式相减可得m(x1－x2)(x1＋x2)＋n(y1－y2)(y1＋y2)＝0，则m(x1－x2)·2x0－n(x1－x2)·2y0＝0，整理可得＝.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立方程可得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，所以x1＋x2＝，y1＋y2＝2－(x1＋x2)

9、＝.由中点坐标公式可得，x0＝＝，y0＝＝.因为M与坐标原点的直线的斜率为，所以＝＝＝.6．(2018·太原模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若

10、AB

11、＝6，则△AOB的面积为________．答案　解析　因为抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，当直线AB垂直于x轴时，

12、AB

13、＝4，不满足题意，所以设直线AB的方程为y＝k(x－1)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－4k＝0.设A(x1，y1)，B