通用版2019版高考数学一轮复习第9章平面解析几何9第9讲直线与圆锥曲线的位置关系教案理

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1、第9讲　直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.方程ax2＋bx＋c＝0的解l与C1的交点a＝0b＝0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点b≠0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a≠0Δ＞0两个不相等的解两个交点Δ＝0两个相等的解一个交点Δ＜0无实数解无交点(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲

2、线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

3、AB

4、＝

5、x1－x2

6、＝＝

7、y1－y2

8、＝.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．(　　)(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．(　　)(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．(　　)(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．(　　)(5)过点(2，4)的直线与椭圆＋y2＝1只有一条切线．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直

9、线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是(　　)A．k＞－　　　　　　　　B．k＜C．k＞或k＜－D．－＜k＜解析：选D.由双曲线渐近线的几何意义知－＜k＜.过点的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B两点，O为坐标原点，则·的值为(　　)A．－B．－C．－4D．无法确定解析：选B.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx－，代入抛物线方程得2x2＋2kx－1＝0，由此得所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝(k2＋1)·x1x2－k(x1＋x2)＋＝－(k2＋1)－k·(－k)＋＝－.故选B.已知直线x－y－1＝0与抛

10、物线y＝ax2相切，则a等于____________．解析：由消去y得ax2－x＋1＝0，所以解得a＝.答案：斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则

11、AB

12、的最大值为____________．解析：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.则x1＋x2＝－t，x1x2＝.所以

13、AB

14、＝

15、x1－x2

16、＝·＝·＝·，当t＝0时，

17、AB

18、max＝.答案：　　　　　　直线与圆锥曲线的位置关系[典例引领]在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－

19、1，0)，且点P(0，1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．【解】　(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，所以c＝1.将点P(0，1)代入椭圆方程＋＝1，得＝1，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.整理得2k2－m2＋1＝0.①由消去y

20、并整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.因为直线l与抛物线C2相切，所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.②综合①②，解得或所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法直线与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，设其判别式为Δ，(1)Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交；(2)Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；(3)Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．[提醒]　注意讨论二次项系数是否为零．　[通关练习]1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________条．解析：结合图形分

21、析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．答案：32．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点．解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－3