思维点拨：相交线与平行线

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1、思维点拨：相交线与平行线【例1】已知，如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，你能求出∠AOC的度数吗？【思考与分析】观察图形我们可知，∠AOE与∠BOE是邻补角，所以∠BOE的度数可求，又由OE是∠BOD的角平分线可求得∠BOD=2∠BOE，而∠AOC与∠BOD是对顶角，故∠AOC可求.解：∵AB是直线（已知），   ∴∠AOE与∠BOE是邻补角（邻补角定义）.   ∴∠AOE+∠BOE=180°（补角定义）.  又∠AOE=150°（已知），   ∴∠BOE=180°-∠AOE=180°－150°=30°（等式性质）.   ∵OE平分∠BOD（

2、已知），   ∴∠BOD=2∠BOE（角平分线定义）.   即∠BOD=2×30°＝60°.   ∵∠AOC与∠BOD是对顶角（由图可知），   ∴∠AOC＝∠BOD（对顶角相等）.   ∴∠AOC＝60°.　反思：在思考过程中抓住角平分线DE与各个角的关系是解题的关键.  【例2】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是（     ）.   A.∠2=45°            B.∠1=∠3   C.∠AOD与∠1互为补角        D.∠1的余角等于75°30′      思考与解:∵OE⊥AB

3、，∴∠AOE=90°.   ∵OF平分∠AOE，     ∵∠1与∠3是对顶角，∴∠1=∠3.∴B正确.   ∵∠AOD与∠1互为补角.∴C正确.   ∵∠1=15°30′，∴∠1的余角=90°-15°30′=74°30′.∴D不正确.故选D.【小结】我们在做这类选择题时，首先把题中条件与图形一一对应，然后看每个结论是否与条件冲突.【例3】已知，如图，直线AB、CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O，∠DOF＝32°，你能求出∠AOE的度数吗？  【思考与分析】我们由AB⊥CD可知∠AOC＝90°，因此，∠AOE与∠EOC互余.又因为∠EOC与∠DOF是对顶角，于是∠EOC=

4、32°，于是∠AOE可求. 解法一：∵直线CD与EF交于O（已知），  ∴∠EOC=∠DOF（对顶角相等）.  ∵∠DOF＝32°（已知），   ∴ ∠EOC=32°（等量代换）.  ∵AB、CD互相垂直（已知），  ∴ ∠AOC＝90°（垂直定义）.  ∴ ∠AOE+∠EOC=90°.  ∴ ∠AOE=90°-∠EOC=90°-32°=58°.　　 解法二：∵直线AB、CD互相垂直（已知），   ∴ ∠BOD＝90°（垂直定义）.   ∴ ∠BOF+∠DOF=90°.   ∵ ∠DOF＝32°（已知），   ∴ ∠BOF=90°-∠DOF=58°.   ∵直线AB与直线EF

5、交于点O（已知），   ∴∠AOE=∠BOF（对顶角相等）.   ∴∠AOE＝58°.    反思：第一种解法先用对顶角后用互余，第二种解法先用互余后用对顶角，我们在平时做题时也应该多想多做，多角度分析解决问题.【例4】如图3，直线AB与CD相交于点F，EF⊥CD，则∠AFE与∠DFB之间的关系是_______.      【思考与分析】我们由所给的条件EF⊥CD，得∠CFE=90°，也就是说∠AFE＋∠AFC=90°，又根据对顶角相等，得∠AFC＝∠DFB，所以∠AFE＋∠DFB=90°.本题也可利用平角的定义来解，即由∠AFE＋∠DFB＋∠EFD=180°，又因为∠EFD

6、=90°，所以∠AFE＋∠DFB=90°.   解：∠AFE与∠DFB互为余角（或∠AFE＋∠DFB=90°）.   【小结】这类题目的特点是有条件而无结论，要从所给的条件出发，通过分析、比较、猜想，寻找多种解法和结论，再进行说理证明.这类题目具有较强的探索性，思维空间较大且灵活，突破了死记概念的传统模式.【例5】平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（     ）对.   A.4对  B.8对   C.12对  D.16对   【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD被直线EF所截”、“直线AB和CD被直线GH所截”、“直线E

7、F和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF和CD被直线GH所截”、“直线AB和GH被直线EF所截”、“直线GH和CD被直线EF所截”.每一个“三线八角”都有两对同旁内角，故原图中共有16对，因此选择D.   【小结】解这类问题，关键是如何用图形分解法把图形分成若干个“三线八角”.【例题】（1）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，则∠CBD的度数是          °.      （2）已知：如图2，直线AB∥C