1.微积分基本定理

《1.微积分基本定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、[中国高考数学母题一千题](第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)微积分基本定理定积分的性质和应用微积分基本定理(又称牛顿-莱布尼兹公式)是微积分中最重要的定理,它的出现标志着微积分的完成,成为数学发展史上的一个里程碑.高考关注的是利用微积分基本定理和定积分的性质,求简单函数的定积分.[母题结构]:(Ⅰ)(微积分基本定理)如果函数f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且函数F(x)是函数f(x)的一个原函数,即(x)=f(x),那么=F(b)-F(a),通常把F(b

2、)-F(a)记为F(x);(Ⅱ)(定积分的性质)①=k;②=;③+.[解题程序]:利用微积分基本定理求定积分的关键是求函数f(x)的一个原函数,即寻找满足(x)=f(x)的函数F(x);求原函数与求导运算互为逆运算,利用初等函数的导函数和导数的运算法则,进行逆向求解,是求原函数的基本方法.1.初等函数的定积分子题类型Ⅰ:(2013年江西高考试题)若S1=dx,S2=dx,S3=dx,则S1,S2,S3的大小关系为()(A)S1

3、]:由S1=dx=x3=,S2=dx=lnx=ln2,S3=dx=ex=e2-e>>1>ln2.故选(B).[点评]:掌握如下函数f(x)的原函数F(x)是求定积分的关键:①若f(x)=xα,则F(x)=xα+1+c(α≠-1);②若f(x)=,则F(x)=ln

4、x

5、+c;③若f(x)=ex,则F(x)=ex+c;④若f(x)=ax,则F(x)=+c;⑤若f(x)=cosx,则F(x)=sinx+c;⑥若f(x)=sinx,则F(x)=-cosx+c.2.定积分的性质子题类型Ⅱ:(2011年福建高考试题)等于

6、()(A)1(B)e-1(C)e(D)e+1[解析]:由=+=ex+x2=(e-1)+(1-0)=e.故选(C).[点评]:掌握定积分的如下法则是必须的:①=k;②=;③=+.3.求定积分的换元法子题类型Ⅲ:(2000年上海交通大学保送生考试试题)设f(x)的原函数是+1,则=.[解析]:令t=2x,则dx=dt==[(+1)-1]=.[点评]:拓展掌握定积分的换元积分公式:=,其中,g(α)=a,g(β)=b.4.子题系列:1.(2010年湖南高考试题)等于()(A)-2ln2(B)2ln2(C)-ln2(

7、D)ln22.(2013年湖南高考试题)若=9,则常数T的值为.3.(2014年陕西高考试题)定积分的值为()(A)e+2(B)e+1(C)e(D)e-14.(2009年福建高考试题)等于()(A)π(B)2(C)π-2(D)π+25.(2012年江西高考试题)计算定积分=__________.6.(2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)=.7.(2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)=.4.子题详解:1.解:由=lnx=ln4-ln2=ln2.故选(D).2.解:由9==x3

8、=

9、T3T=3.3.解:由=(x2+ex)=(1+e)-(0+1)=e.故选(C).4.解:因F(x)=x+sinx(x)=1+cosx=F()-F(-)=π+2,故选(D).5.解:由=(x3-cosx)=(-cos1)-(--cos1)=.6.解:令=t,t∈[,1],则(-)dx=dtdx=-dt==-=-(t-1)et

10、=e.7.解:令x=1+sint,t∈[-,0],则dx=costdt===(x+sin2t)

11、=.