透析关系,注重本质

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1、透析关系，注重本质——《分数与除法》的教学实践与思考【缘起与思考】人教版教材五年级下册第65页《分数与除法》一课，通常都是这样展开教学的。从“4人平均分多张饼”引入，再分别呈现“1张、3张饼平均分给4个人，每人分到几张饼”的例题，并借助直观操作得到除法的分数商，接着安排学生观察分数与除法算式发现两者的关系。至此，新课教学结束，流程很是“顺畅”o作为小学分数数学的疑难问题之一，就这样轻而易举地给解决了。课后，让学生练习“一根4米长的绳子平均分成5段，每段是这根绳子的（）,每段长（）米”，错误率却特别高。

2、题目中的前者是求部分与整体的关系，后者是求具体的量，学生把这两者混淆了？这样的错误不就是《分数与除法》教学中学生难以理解的“3张饼的"4就是3/4张饼”的教学难点吗？教师看似“流畅”的教学过程和多数学生存在的错误形成了巨大的反差，事实说明上面的教学并不流畅。带给笔者的思考，这节课难道仅仅只是在学习分数与除法的外在关系吗？透过这一关系的背后，我们更应该关注分数的什么？【透析与解读】笔者查阅了有关分数的相关资料,张奠宙教授在《小学数学研究》是这样认为的，分数有份数定义、商定义、比定义、公理化定义这四种定义

3、。而分数的这几种定义是不矛盾的，以其中任何一种定义作为基点，是都可以沟通并实现从其他定义角度上去认识分数的。无论用上述定义中哪一种给分数下定义都是可以的，而且这几种分数的定义（小学数学中主要是前三种）在数学学习过程中，都不能让学生回避，因为这对于学生认识分数概念的完整性来说是完全必要的。我们在教学中应该注意帮助学生从多个角度去理解，并努力实现各个定义之间必要的互补与适当整合。而这节课涉及到了分数的份数定义和商定义这两种。先来看分数的份数定义，将单位“T平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数，

4、这和教材中呈现的分数的意义是相同的，也就是此课教学中“3张饼的4/4”中的1/4表示部分与整体的关系。这样的定义强调了“平均分”，好处是直观、明白易懂，但也存在没有显示它是一种新的数和不能适当选择单位“4”的缺点，这其实也是造成学生理解上困难的一个重要原因。而除法得到的商“3/4张饼”中的分数是表示具体的量，也就是分数的另一种“商”定义，从数学的观点上认为分数是由除不尽引起的，体现了分数的本质，符合数系扩张的数学思想。这种定义是对数系的扩充，是一次跨越，一次升华，必须让每一个学生都要面对。站在两种定义

5、的角度，我们来看分数与除法两者之间的关系。首先，分数的份数定义强调平均分的过程，正好和除法平均分的意义相同，而平均分的过程是实现两者等同的本质所在，即3张饼的“1/4”等同于3=4o其次，通过平均分得到具体的分数结果，也就是3/4张（也可以说1张饼的3/4）,其实就是从“商”定义角度去认识分数的。也就是说，两种定义在分数与除法中表现出一种因果关系，即因为分数的份数定义和除法意义等同，所以也就实现了除法算式与分数商的结果等同，即3-4就是3张饼的“4/4”，3张饼的“4/4”就等于3/4张，那么3-4也

6、就是等于3/4张。这节课就是以分数份数定义为教学起点，结合自然数除法的推广，从分数的真正起源上认识分数，知道分数也可以表示商，从而改变学生孤立地认为分数只是表示部分与整体的份数关系，迅速向更抽象的商定义转移。至此，透析分数与除法关系背后的本质，分数与除法关系教学只是一个载体，而教学的核心应该是对分数概念的进一步理解和完善，特别是从商定义这一角度去认识分数。【想法与实践】既然分数与除法的关系背后隐含着分数份数定义和商定义之间的联系，那么学生会对分数的这两种定义有多少认识？笔者在课前进行了“1张和3张饼平

7、均分成4人，每人分到几张？”的学情前测，了解到多数学生知道用除法“U4和3一4”来进行计算，却不敢用分数来表示除法的商，一般都用小数来表示。分析原因，是因为表示过程的份数定义想法在学生已有认知中一直占强势主导地位，而分数的另一种“商”定义首次在教材中进行正面推出，学生因此而感到陌生。透析关系背后的本质，以及学生对分数这两种定义的不同认识，教学就从学生比较熟悉的分数份数定义出发，通过分数与除法的关系去认识分数也可以表示具体的商，从而从“商定义”角度完善分数的认识。笔者尝试从以下“修补思维缺失、简化推理环

8、节、细化反馈过程和联想播的四个环节借助并超越分数与除法的关系，凸显关系背后的本质，实现对分数两种定义上的沟通与理解。一、修补思维缺失，铺好学纂“仆4冲表示过程的1/4和表示结果的1/4张数据相同的巧合，再加上前面说的学生对分数商定义的阻，误把两种定义等同了，从而对分数的认识上产生了偏差。这样的对分数理解不全面而造成的思维僵，会直接影响到学生这节课以及对今后的分数学习我们可以先直观的分8张、4张饼再到1张饼，感受到商的数量从“整数”到“分数”的递减变化过程