错解剖析得真知31

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1、错解剖析得真知（十四）§5.4不等式的应用一、基础知识导学1.利用均值不等式求最值：如果创，那么2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题人体分为两类:一是建立不等式解不等式;二是建立函数式求最人值或最小值.二、疑难知识导析不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中冇广泛的应用，特别是近几年来，鬲考试题

2、带动了一大批实际应用题问世，其特点迢：1.问题的苗景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等,题目往往篇幅较长.2.函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数尸■at*■飓”劲呦逐-蝴Ix”为模型的新的形式.三经典例题导讲八5［例1］求yMS的最小值.错解：y=3+4『3*4=2y的最小值为2.错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“止、定、等”这三个条件缺一不可.JTTT2"如划正解：令+裂则t王-于是y二'i+-—由于当时，y=債是递增的，故当t=2即

3、x二0时，y取最小值乙［例2］m为何值时，方程x2+(2m+l)x+m2-3=0冇两个正根.2^4-1<0U,因此当w<-^时，原方程有两个jtn敝v_j3错解:由根与系数的关系得M"3>0正根.错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式人于等于0.正解:由题意:4因此当时，原方程冇两个正根.［例3］若正数x,y满足飲•勿・筠，求xy的最大值.解：由于x,y为正数，贝Ij6x,5y也是正数，所以当且仅当6x=5y时,取“二”号..「…融£竺兰因■刃■叫则予*2,即5,所以丁的最大值为5.［例4］己知：长方体的全而积为定值S,试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，

4、求出这个最大值.分析：经过审题可以看出，长方体的全而积S是定值.因此最人值一定要用S来表示.首要问题是列出函数关系式.设长方体体积为y,其长、宽、髙分别为a,b,c,则y二abc.由于a+b+c不是定值，所以肯定要对函数式进行变形•可以利用平均值定理先求岀b的最人值,这样y的最大值也就可以求出来了.解：设长方体的体积为y,长、宽、高分别是为a,b,c,贝ijy二abc,2ab+2bc+2ac二S.而y2=(abc)2=(ab)(be)(ac)当且仅当ab=bc=ac,即a=b=c时，上式取"二"号，『有最小值S1216*答:长方体的长、宽、高都筹于56时体积的最人值为»4Ja=b

5、=c>)2ai>+2bc・2ac・S说明：对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题的关健.四、典型习题导练1•某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m,如果池底每1*的造价为150%,池壁每的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？2.证明：通过水管放水，当流速相同时，如呆水管截而的周长相等，那么截而是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.3.在四而体P-ABC中，ZAPB二ZBPC二ZCPA二90°，各棱长的和为in,求这个四而体体积的最人值.4.设函数f（x）=ax2+bx+c的图象与两直线丫刁，y

6、=-x,均不相交,

7、

8、综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.11.反证法:判定非q为假,推出q为真的方法.12.应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶山假定出发，应用止确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真.13・数学归纳法：设（Pn）是一个与自然数相关的命题集合，如來⑴证明起始命题3成立；⑵在假设p：＜成立的询提上，推出P+也成立，那么可以断定，｛p„｝对一切正整数成立.14.数学归纳法的步骤：（1）证明当丹=性（如或2等）时，结