错解剖析得真知（五）

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1、错解剖析得真知（五）§2.4　函数与方程 一、知识导学 1.函数的零点与方程的根的关系：　一般地，对于函数（）我们称方程的实数根也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数的零点.2.函数的图象与方程的根的关系：　　一般地，函数（）的图象与轴交点的横坐标就是的根.综合方程f(x)=g(x)的根，就是求函数y＝f(x)与y=g(x)的图象的交点或交点个数，或求方程的图象与轴交点的横坐标.　　3.判断一个函数是否有零点的方法：　　如果函数在区间[a,b]上图象是连续不断的曲线，并且

2、有，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，即至少存在一个数使得，这个c也就是方程的一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助图象判断解的个数，或者把写成，然后借助、的图象的交点去判断函数的零点情况.4.二次函数、一元二次方程、二次函数图象之间的关系：　　二次函数的零点，就是二次方程的根，也是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.5.二分法：对于区间[a,b]上的连续不断，且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 二、疑难知识导析 1.关于函数的零点，就是方程的实数根，

3、也就是与函数图象的交点的横坐标.要深刻理解，解题中灵活运用.2.如果二次函数，在闭区间[m,n]上满足，那么方程在区间（m,n）上有唯一解，即存在唯一的，使，方程另一解.3.二次方程的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方程＝的根都在区间时应满足：4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是（1）取一个区间（）使（2）取区间的中点，（3）计算，①若，则就是的解，计算终止；②若，则解位于区间（）中，令；若则解位于区间（）令（4）取区间是（）的中点，重服第二步、第三骤直到第n步，方程的解总位于区间（）内（5）当精确到规定的精确度的近似值相

4、等时，那么这个值就是所求的近似解. 三、经典例题导讲 [例1]已知函数若时，≥0恒成立，求的取值范围.错解：（一）恒成立，∴△＝≤0恒成立　解得的取值范围为错解：（二）∵若时，≥0恒成立∴即解得的取值范围为错因：对二次函数＝当上≥0恒成立时，△≤0片面理解为，≥0，恒成立时，△≤0；或者理解为这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误.二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论.正解：设的最小值为（1）当即＞4时，＝＝7－3≥0，得故此时不存在；(2)当即－4≤≤4时，＝3－－≥0，得－6≤≤2又－4

5、≤≤4，故－4≤≤2；（3）即＜－4时，＝＝7＋≥0，得≥－7，又＜－4故－7≤＜－4综上，得－7≤≤2[例2]已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.错解：设∵有且只有一根在区间（0,1）内∴得＜－2错因：对于一般，若，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数，若则在区间（a,b）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.　　　但方程＝0在区间（a,b）上有且只有一根时，不仅是，也有可能.如二次函数图象是下列这种情况时，就是这种情况.由图可知＝0在区间（a,b）上有且只有一根，但是正解：设，（1）当＝

6、0时方程的根为－1，不满足条件.（2）当≠0∵有且只有一根在区间（0,1）内又＝1＞0　　∴有两种可能情形①得＜－2，或者②得不存在。综上所得，＜－2。[例3]已知一次函数与二次函数图象如图，其中的交点与轴、轴的交点分别为A（2，0），B（0，2）；与二次函数的交点为P、Q，P、Q两点的纵坐标之比为1︰4.（1）求这两个函数的解析式.（2）解方程：。（1）错解：把A（2，0），B（0，2）两点坐标分别代入一次函数解得∴一次函数为 设P（1，1），Q（，2），则1︰2＝1︰4∴︰＝1︰4　　∴1︰2＝1︰2或1︰2＝（－1）︰2当1︰2＝1︰2时

7、，Q点坐标为（21，41），把P、Q两点坐标分别代入直线方程即得　　　解得∴P（3，－1），Q（6，－4），抛物线方程为当1︰2＝（－1）︰2时，Q点坐标为（－21，41）把P、Q两点坐标分别代入直线方程即得　　　解得∴P（1，1），Q（－2，4），抛物线方程为错因：在得到1︰2值之后，要注意题意判断点的位置关系，多余的解要舍去，题中Q在第二象限，所以不合条件.正解：（1）抛物线方程为（2）方法一：由（1）得方程　即为　解得1＝－2，2＝1.　　方法二：方程的根即为二次函数与一次函数的交点的横坐标.由（1）知它们交点的坐标分别为P（1，1），Q

8、（－2，4），　∴方程的解为1＝－2，2＝1. [例4]是否存在这样的实数k，使得关于x的方程2+（2k－3）－（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都