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1、错解剖析得真知（四）§2.3基本初等函数一、知识导学1.二次函数的概念、图彖和性质.（1）注意解题中灵活运用二次函数的-•般式"A“伽“SQ）二次函数的顶点式（—莎I（“6和二次函数的坐标式“）=Y■乞）3E（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒止恒负、二次方程根的范围等）要充分利用好两种方法：配方、图象，很多二次函数都用数形结合的思想去解.①/（x）-^?+&x+^当&=A2-4otraD时图象与X轴有两个交点.M（xi,0）N（x2,0）,
2、MN
3、=
4、Xi-xq
5、=.②二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，
6、它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得.2.指数函数厂"D和对数函数°"。的概念和性质.（1）有理指数帚的意义、幕的运算法则:①②③3『=松（这时m,n是有理数）对数的概念及其运算性质、换底公式.M-let.if*9（2）指数函数的图彖、单调性与特殊点.对数函数的图象、单调性与特殊点.①指数函数图彖永远在x轴上方，当a>l时，图彖越接近y轴，底数a越大；当0〈a〈l时,图彖越接近y轴，底数a越小.②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约，注意対底数a的讨论.③当a>l时，图象越接近x轴，底数a越人；当0〈以1时，图象越接近x轴
7、，底数a越小.3.幕函数「y旷的概念、图象和性质.结合函数yw尸/，尸己y^=x=，尸丁的图象，了解它们的变化情况.①：＞o时，图象都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0,+g）上是增函数；注意二＞1-与o＜匚v1的图象与性质的区别.②二＜0吋，图象都过（1,1）点，在区I'可（0,+8）上是减函数；在第一-彖限内，图象向上无限接近y轴，向右无限接近x轴.③当x＞l时，指数人的图象在上方.二、疑难知识导析1.二次函数在区间上最值的求解耍注意利用二次函数在该区间上的图彖•二次函数的对称轴与区间的位置通常有三种情况：（1）定义域区间在
8、对称轴的右侧；（2）定义域区间在对称轴的左侧；（3）对称轴的位置在定义域区间内2•幕的运算性质、対数的运算性质的运用，要注意公式止确使用•会用语言准确叙述这些运算性质防止出现下列错误：（1）式子护=匸,（2）I咚吧密十I呱MI呱山・册=1^暫・1咚胪3.利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值.4.函数八少‘的研究方法-般是先研究孑⑴的性质，再itP的情况讨论八尸的性质.互为反函数，会将5.对数函数@》0工・°与指数函数”=心・指数式与对数式相互转化.6.幕函数"的性质，要注意工的収值变化对函数性质的影响.a-(1)当时，幕函数
9、是奇函数；（2）当时，幕函数是偶函数；（3）当时，定义域不关于原点对称，幕函数为非奇非偶函数.三、经典例题导讲［例1］已知聪/T皿・5■求I帕.45错解：•・•僧/進_I叫451农口54log口9血4a啦'_%-kg器4+1轉岸9_log.4+a错因：因对性质不熟而导致题口没解完.正解:啦如述■靛譽■念■乂■芒［例2］分析方程/W=^+^^=0（a>0）的两个根都大于1的充要条件.错解：由于方程/w=«a+^^=°（0）对应的二次函数为的图象与x轴交点的横坐标都大于1即可.故盂满足所以充要条件是错因：上述解法中，只考虑到二次函
10、数与X轴交点朋标耍大于1,却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图象与X轴有交点才行，即满足△$（）,故上述解法得到的不是充耍条件，而是必耍不充分条件.正解:充要条件是A=护—4acS.0■［例3］求函数A=务"l2'e"5的单调区间.错解：令冷=£,则，=M°72・"-5=d-'・••当t$6,即xNl时,y为关于t的增函数,当tW6,即xWl时，y为关于t的减函数・・・函数，n?"-5的单调递减区间是（〜5,单调递增区间为［筑8错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围.正解：令”之，则"6.为增函数，八欢72犷-5
11、=沪七一5=«_6『_41・••当t$6,即x$l时，y为关于t的增函数，当tW6,即xWl时，y为关于t的减函数・・・函数八务■,2S>■s的单调递减区间是，单调递增区间为［例4］己知八切山一❾在［0,1］上是龙的减函数，则二的取值范围是错解：•••尸叱卫-呵是由尸處■”，•-?-«复合而成，又->0・・・&=2—血在［o,1］上是叮
12、勺减函数，由复合函数关系知厂1呱“应为増函数，•一>1错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制,单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在［0,1］上有意义.正
13、解：・・・A=bs卫■同是由尸bg.w,.=2-亦复合而成，乂少>0・・.tr・2・ar在［0,1］上是口'
14、勺减函数，由复合函数关系知应为增函数，・・・・、>1乂由于工在［0,1］上时Z=log<(2-«)^意义，乂是减函数，・・.
