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1、北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014.5一、选择题（满分40分）题号12345678答案BCCDDACB二、填空题（满分30分）题号91011121314答案2a/3-8038>/238>/32曲〃（〃+3）2②③三、解答题（满分80分）15.（本小题满分13分）解：（I）由=—besinA得,=^x3xcsin^=^-^-^--所以c=5.由a2=/?24-c2—2bccosA得'er=3~+52—2x3x5xcos=49‘所以d=7.7分（II）由得，,所以sin
2、B3a/3IT所以cos2B“-2sin足直13分16.（本小题满分13分）解：（I）根据题意，参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为（人），参加社区服务吋间在吋间段小吋的学生人数为（人）.所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为8（）人.所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为p'°+2°=竺二？5分2002005*（II）由（I）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务吋间不少于90小时的概率为一•由已知得，随机变量
3、§的可能取值为0,1,2,3.7Q77所以p(^=o)=c；)n°.(-)3=—；JJ丄厶JP(,1)=C：(勻.(3)2二竺55125昭2)©外加备*355125所以£^=3x
4、=-.5513分随机变量§的分布列为0123p2712554125361258125因为517.（本小题满分14分）证明：（I）如图，连结AC.因为底面ABCD是正方形，所以4C与BD互相平分.又因为F是3D中点，所以F是AC中点.在中，E是P4中点，F是AC中点,所以EF//PC.又因为EF0平面PBC,PCu平面P
5、BC,4分(II)取4D中点O.在厶PAD4',因为PA=PD,所以PO丄AD.因为面PAD丄底面ABCD,且面PADA面ABCD二AD,所以PO丄面ABCD・zA因为OFu平WiABCD所以P0丄OF.又因为F是AC中点，所以OF丄AD.如图，以O为原点，OA.OF.OP分别为兀y,z轴建立空间直角坐标系.因为PA=PD=AD=2,所以OP”,则O(0,0,0),4(1,0,0),B(l,2,0),1RC(-1,2,0),£>(-1,0,0),P(0,0,V3),E(-,0,—),F(0,l,
6、0).22于是丽(0,2,0),旋七,0,*)，晤(1丄0).因为OP丄面ABCD,所以=(0,0,73)是平面FAD的一个法向量.设平面EFD的一个法向量是几二（兀z（））•因为秽•竺二anDE=^心+）‘0=°，令兀o=l则n=(l,-1,-73).•••10分由图可知，二血角E-DF-A为锐角，所以二面角E-DF-A的余眩值为（III）假设在棱PC上存在一点G,使GF丄面EDF•设G3」,zJ,则而=（召，-1,zj.由（1［）可知平面EDF的一个法向量是n=（1,-1,-73）.因为GF
7、丄面EDF,所以FG=An.于是，兀
8、=入刃一1=-A,z}=_品九,即兀］=入刃=1-入Z］=_乜九.又因为点G在棱PC上，所以农与况共线.因为PC=(-1,2,-73),疋=(曲+1,必一2,zJ,所以土Lg二玉.-12-y/jm、i1+Q_2_[—V3Apa所以——二二一，无解.-12-V3故在棱PC上不存在一点G,使GF丄面EDF成立.14分18.(本小题满分13分)(I)由己知得f(x)=2e2x+,-a.因为曲线在点处的切线与直线x+ey+l=0垂直，所以门0)=e.所以fQ)=2
9、e-a=e.所以Q=e.3分(II)函数的定义域是，/z(x)=2e21+1-67・(1)当aWO时，成立，所以的单调增区间为.(2)当a>0时，令，得x>-ln---,所以的单调增区间是(-ln---,+oo);222222令，得兀<丄In--丄，所以的单调减区I'可是(―叫丄In---).222222综上所述，当a50时，的单调增区间为；当d>0时，的单调增区间是(-ln---,+oo),222的单调减区间是(―g丄111£一2).8分222(III)当时，/(0)=e+l>l成立，.“当时
10、，/(%)=e2x+1-f/x4-l>l恒成立”2“1等价于“当时，GS—恒成立・”X2x+l设gd)=—,只要“当时,a0得，x>
11、,又因为，所以函数在(*,1］上为增函数.1,所以函数在处取得最小值，且g(-)=2e-.厶所以«<2e2-又因为a<2e3，所以实数的取值范圉(-oo,2e2］.13分(III)另解：(1)当*0时,由(II)可知,在［0,1］上单调递增,所以/(
