全等三角形的证明复习

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1、三角形的初步知识复习目标：1、理解并掌握三角形的有关概念：三角形及分类，三角形的角平分线、中线和高线，全等三角形，表示法包括三角形、三角形全等的符号、字母表示法。2、对三角形的有关概念，不仅要会认，还要求会画，会用符号、字母表示，会用比较严格的几何语言表示。3、对三角形边、内角、外角的性质，不仅要理解性质的本身，还要求会说明理由，并简单运用。4、作图及尺规作图。教学过程：类型之一　三角形的三边关系三角形中任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，即若三角形的三边长分别为a，b，c，则有b＋c

2、>a>b－c(b>c)．例1　现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4【解析】【例1】共有4种方案：①取4cm，6cm，8cm；由于8－4＜6＜8＋4，能构成三角形；②取4cm，8cm，10cm；由于10－4＜8＜10＋4，能构成三角形；③取4cm，6cm，10cm；由于6＝10－4，不能构成三角形，此种情况不成立；④取6cm，8cm，10cm；由于10－6＜8＜10＋6，能构成三角形．所以有3种方案符合要求．

3、变式跟进1　[2014·淮安]若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为______．(只需填一个整数)类型之二　三角形的内角和与外角和三角形的内角和等于180°三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和（这两个定理可以解决许多有关求三角形角度的问题）．例2　如图1－1，已知∠B＝∠CAB，∠ACD＝∠D，∠BAD＝63°，求∠CAD的度数．图1-1图1-2【例2】解：设∠CAD＝x，则∠BAC＝63°－x.又因为∠B＝∠CAB，∠ACD＝∠D，所以∠B＝∠BAC＝63°－x，∠ACD＝∠

4、D＝2(63°－x)．在△ABD中，由于三角形的内角和等于180°，故63°＋(63°－x)＋2(63°－x)＝180°，解得x＝24°，所以∠CAD＝24°.【点悟】　本题应用了三角形内角和定理以及外角的性质变式跟进2　如图1－2，在△ABC中，∠BAC＝4∠ABC＝4∠C，BD⊥AC，垂足为D，求∠ABD的度数．【变式2】解：设∠C＝x，则在△ABC中有x＋x＋4x＝180°，解得x＝30°，∴∠BAC＝120°，∠DAB＝60°，∴∠ABD＝90°－60°＝30°.类型之三　全等三角形的性质

5、与判定全等三角形的对应边和对应角相等，所以在平面几何中，说明两线段相等，两个角相等，两条直线互相平行，两条直线互相垂直等问题时，常常可以通过三角形全等来实现，有时在整个解题过程中往往要多次证三角形全等，才能解决待证(或待求)的问题．例3　如图1－3，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF.请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线，并说明判断的理由．图1-3图1-4图1-5【例3】设法证明△BDE≌△CDF.解：AD是△ABC的中线．理由如下：在直角△BDE和直角△CDF中，∵BE＝CF，∠BDE

6、＝∠CDF，∠BED＝∠CFD，∴△BDE≌△CDF.∴BD＝CD.故AD是△ABC的中线．【点悟】　本题意在考查寻找隐含条件，推出所需要的条件，证明两个三角形全等，并利用全等三角形解决问题．变式跟进3　如图1－4，已知∠B＝∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE(不标注新的字母，不添加新的线段)，你添加的条件是_______________________________________(写出一个即可)．变式跟进4　如图1－5，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2.求证：AB＝AD.【变式4】证明

7、：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE，即∠BAC＝∠DAE.∴△ABC≌△ADE(ASA)．∴AB＝AD.类型之四　角平分线的性质与垂直平分线的性质1、角的平分线不仅把角分成相等的两部分，而且它所在的直线是角的对称轴，线上的点到角两边的距离相等；2、线段的垂直平分线是指经过线段的中点并且与线段垂直的直线，它的主要性质是：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，反之，到线段的两个端点距离相等的点，在它的垂直平分线上．例4　如图1－6，在直角△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的

8、平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是_______．图1-6图1-7变式跟进5　如图1－7，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E.若∠CAE＝∠B＋30°，求∠AEB的度数．【变式5】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∠B＝∠EAB，∵∠C＝90°，∠CAE＝∠B＋30°，∴∠CAE＋∠EAB＋∠B＝∠B＋30°＋∠B＋∠B＝90°，∴∠B＝20°，∴∠AEB＝180°－∠B－∠EAB＝180°－20°－20°＝14