圆周角定理及其推论

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1、通过数学实验认识圆周角定理及其推论柳州市第十四中学郑容2016年1月内容摘要：教师使用《几何画板》中的动态功能和度量功能，通过演示，让学生在动态环境中观察和发现圆周角和圆心角的关系，即在某些数量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，在演示中，教师进行了如下操作①圆周角的顶点在圆周上运动②改变弧的大小③改变圆的大小，不仅让学生获得最直接的观察思考，还从更广泛的角度去验证学生的猜想，帮助学生更好地理解圆周角定理及相关推论，针对该班学生基础较薄弱的实际，借助《几何画板》让孩子更直观的理解图形的生成，不

2、仅方便而且科学严谨，具有充分的说服力。关键词：几何画板，圆周角定理，探索在初三数学中，不少学生对《圆》一章的学习感到畏惧，面对抽象变化的图形和定理感到含糊不解，因此课堂上我们老师想到了用《几何画板》模拟图形的变化，通过数学实验让学生更好地认识圆周角定理及其推论一、学习目标描述1、了解圆周角的概念，通过画图、观察、度量、归纳等方式探索发现“一条弧所对的圆周角与圆心角之间的关系”及其相关推论2、能根据圆心与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性，以及证明

3、该定理时，可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成特殊情况（圆心在角的边上）3、结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论，化归的思想方法二、学习内容分析1、学生要动手画圆周角，在动手操作中体会圆心与圆周角的三种位置关系2、学生以学习小组为单位，合作交流，先度量角的度数，再猜想，然后教师利用软件在动态环境中验证3、从特殊位置关系入手，再将其他一般情形转化为特殊情形4、在学习中，要让学生充分动手，能够以画图、观察、度量、归纳等方式发现相关的结论5、在学习中，注重领悟数学中分类讨论，化

4、归，由特殊到一般的思想三、学生学情分析学习本节课时，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏。部分学生符合语言的运用能力不足，学生有小组合作学习的经验，课堂学习交流意识强四、教学环节环节1：学生阅读课本，并观察图形，教师引导学生结合图形理解圆周角的概念1、顶点在圆上2、角的两边都和圆相交，接着学生思考并回答练习中的问题，巩固对圆周角的理解环节2：1、学生画图，并观察图中∠BAC和∠BOC的位置关系，找到它们的关联：都对着弧BC，从而诱发对两角度数关系的思考，对

5、两角进行度量，发现数量关系∠BAC=∠BOC2、教师利用《几何画板》进一步拖拽点A在圆周上运动，和学生共同记下∠BCA和∠BOC变化的数据，用实验验证猜想①圆周角的顶点在优弧BC上运动②改变弧的大小③改变圆的大小3、把猜想用文字叙述为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半环节3：1、学生进一步画图：在圆上任意取弧BC，画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC，教师同时提问：圆心与圆周角有几种位置关系？2、学生以小组为单位，交流并思考，得到圆心与圆周角的三种位置关系，并画出来①圆心圆周角的一边上②

6、圆心在圆周角的内部③圆心在圆周角的外部3、教师提问：如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？学生以小组为单位，结合三种位置的图形，认识到先情形①是特殊情况，此时如图，A、O、B三点在同一条直线上，利用圆内等腰三角形和外角性质，证明比较简单，讨论后，请学生板书出证明过程4、教师提问：在②③种情况下，又如何证明猜想是正确的？学生思考交流，尝试解决问题，教师可根据学生的情况提示：将情形②③转化为①，并共同完成证明如下由情形①的证明可得：∠BAD=∠BOD，∠CAD=∠COD∴∠BAC=∠B

7、AD+∠CAD=∠BOD+∠COD=(∠BOD+∠COD)=∠BOC学生再独立完成③的证明，从而猜想是真命题，得到圆周角定理5、教师引导学生总结证明过程①在动点问题中运用分类讨论②研究数学问题可从特殊到一般，再将一般化为特殊情况，这种数学思想叫做化归③类比我们前面所学知识，进一步认识图形中的数量关系例如，点C在线段AB上和线段AB的延长线上时，线段AB、AC、BC的数量关系射线OC在∠AOB的内部和外部时，∠AOB、∠AOC、∠BOC的数量关系环节41、教师先提问“一条弧可以对着不同的圆周角，这

8、些圆周角之间有什么关系？”学生根据教师提问画出图形：弧BC所对的几个圆周角，并实际测量观察结果得出结论2、教师利用《几何画板》进一步演示，改变点A的位置，让其在优弧BC上运动，利用软件的度量功能学生可观察到∠BAC的度数没有变化，即根据圆周角定理它们都等于圆心角∠BOC的一半3、教师提问：在圆周角定理中，如果这条弧是一个半圆，或所对的弦是一条直径，那么所对的圆周角会有什么特殊性吗？学生根据半圆的角度为180°，可容易得出圆周角为90°的结论4、教师提问：在上述的演示中，图中点A在圆上任意运动，观