图形中最短问题的解题策略

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1、南通市初中数学基地活动课堂观摩课堂教学设计2013．10．31图形中“最短问题”的解题策略【教学目标】1．使学生进一步感悟“两点之间线段最短”“垂线段最短”等几何基本事实；2．通过对具体问题的研究，学会用对称等变换将问题进行转化的解题策略；3．体会转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等在数学解题中的应用策略．【重点、难点】重点：数学解题的策略；难点：数学思想在解题中的应用．【教学过程】一、研究问题，感悟几何基本事实1.解答以下一组问题：（图1）（图2）（图3）（1）如图1，已知A和B两点，请在平面内求作一点P，使PA+P

2、B最短.（说说你是怎样作的，为什么？）（2）如图2，已知A和B两点和直线l，请在直线l上求作一点P，使PA+PB最短.（你是怎样思考的，为什么？）（3）如图3，已知A和B两点和直线l，请在直线l上求作一点P，使PA+PB最短.（思考本题与第2题有何不同，你的解题方法是什么？是否有何解题策略？）在以上各题中，体现了怎样的几何基本事实？________________________________.2.几何基本事实的应用（1）如图4，已知点A是∠MON内一点.①在∠MON的两边上分别求作点B、C，使△ABC的周长最短；②在

3、上题中，若∠MON=30°，OA=2，则△ABC的最短周长是多少？（图4）（图5）（2）如图5，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，在BC、DE上分别作一点M、N，使得△AMN的周长最小，此时∠AMN+∠ANM=________.请思考以下问题，并在小组内交流你的观点，倾听别人的见解.你是怎样解决此类问题的？在此过程中运用了怎样的方法？有怎样的解题策略与别人分享.二、研究新问题，再次感悟几何基本事实1.（1）如图6，已知点A和直线l，在直线l上求作一点P，使线段AP最短.体现的几何基本事实是__

4、______________________.（图6）（图7）（2）如图7，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点P是斜边AB上一动点，则线段PC的最小值为___________．南通市初中数学基地活动课堂观摩课堂教学设计2013．10．312.几何基本事实的应用（1）如图8，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上一动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是_______________（图8）（图9）（2）如图9，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，经过点C且与边AB相切的动圆

5、O与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是___________．小组交流：你是怎样解决此类问题的？在此过程中运用了怎样的方法？有怎样的解题策略与别人分享.三、综合运用，深化数学思想，感悟解题策略1.如图10，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P、Q、K分别在线段BC、CD、BD上，则PK+QK的最小值为_______解答以上各题后，谈谈你的解题体会：[设计意图：通过以上问题的研究，使学生学会应用转化思想将要解决的问题转化为能利用基本事实解决，其方法是运用了轴对称，以形助数、以数助形的数形结合

6、思想，利用勾股定理、三角形有关角的定理、特殊四边形的有关性质等常见几何定理解决问题，最终还是始终抓住转化为利用几何基本事实来解题的解题策略]三、课堂小结解决此类图形中的最短问题的解题策略就是将问题转化为两个几何基本事实的图形模型，运用转化思想、数形结合思想，结合几何有关定理，巧用代数运算策略，就能有效解决此类问题．当然，本课不可能穷举所有类型，还希望同学们在学习的过程中灵活运用所学，充分运用数学思想和方法，总结解题策略，举一反三．四、课堂练习1．如图11，已知⊙O的直径CD为2，∠AOC=60°，点B是的中点，在直径CD

7、上作出点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（图11）（图12）（图13）2．如图12，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是　　．3．如图13，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（－4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为．南通市初中数学基地活动课堂观摩课堂教学设

8、计2013．10．31课堂教学语言开场：同学们，学习数学离不开解题，而数学解题仅仅知道“解题方法和技巧”是不够的，重要的是掌握寻找“解题方法和技巧”的途径，在这个过程中，不能忽视掌握数学中的基本概念、基本事实、定理、公式对我们解好题的重要作用。本课我和大家从就如何利用几何基本事实解决图形中的最短问题这个角度，探讨一下