专题9.3 灵活运用设而不求方法求解数学问题-备战2018年中考数学一轮微专题突破（原卷版）

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1、灵活运用设而不求方法求解数学问题【专题综述】在求解数学问题时，常会碰到一些问题，它所涉及的量比较多，量与量之间的关系也不太明显，若只根据题意，直接设未知数，解决问题较难．此时若通过设辅助未知数，把那些不明显的关系表示出来，而在求解含辅助未知数的方程（组）时，则可根据其特点，巧妙地将辅助未知数消去，而不必求出这些辅助未知数，从而求得原问题的解，这就是“设而不求”，采用这种方法常常可以简化解题过程，使得求解方法变得简捷、巧妙．【方法解读】例1有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需315元；若购甲4件、乙10件、丙一件共需420元．问现在购甲、乙、丙各

2、一件共需多少元？解设购甲、乙、丙各一件分别需x元、y元、z元，则由题意可得：解关于x＋3y和x＋y＋x的二元一次方程组可得[来源:学,科,网]x＋y＋x＝105（元）．点评对于本题，若按常规方法求解，则需分别求出x、y、z的值，而根据题中的条件只能列出两个方程，因此直接求值不太可能．可见题意并非一定要求出x、y、z之值，而只需求出（x＋y＋z）这个整体之值即可．例2一个十位数字为0的三位数，它恰好等于它的数字和的67倍；交换它的个位数字和百位数字得到一个新的三位数，它恰好又是数字和的m倍，求m的值．解设三位数的百位数字为x，个位数字为y，则据题意可得：[来源:

3、Zxxk.Com][来源:学科网][来源:Z§xx§k.Com]例3已知直角三角形ABC的周长是2＋，斜边上的中线长是1，求该三角形的面积．解设两直角边长分别为x、y，则根据题意，可得下面方程组：点评本题若用解方程组求出x、y的值，再计算，则不仅运算量大，方程繁杂，且还容易出错．采用“设而不求”的方法，使得解题过程简洁明快．例4已知二次函数y＝x2－mx＋4的图像与x轴交于A、B两点，且A、B两交点间的距离为2．求此二次函数的解析式．例5有一片牧场，草每天都匀速地生长（革每天增长的量相等）．如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设

4、每头牛每天吃草的量是相等的，(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完草?(2)要使牧草永远吃不完，至多只能放牧几头牛？[来源:学*科*网]解(1)设每头牛每天吃草量为x，草每天增长量为y，牧场原有的草量为a，16头牛z天可以吃完牧草．则根据题意可得：[来源:学科网ZXXK][来源:学#科#网](2)设放牧w头牛，牧草永远吃不完，则必须使w头牛每天吃的草量不大于每天的增长量，即xw≤y⑥[来源:学*科*网Z*X*X*K]把④代入⑥，可得w≤12（因为w>0）．答：(1)如果放牧16头牛，18天可以吃完草；(2)要使牧草永远吃不完，至多只能放牧12头牛．点评本题是著名

5、的“牛吃草”问题，解题需要考虑草每天的增长量，每头牛每天吃草量及牧场原有草量之间的关系，所以本题设了一些辅助未知数，并把这些关系表示出来，然后巧妙地进行消元，从而使得问题顺利获解．例6如图1所示，在△ABC的两边AB、AC上分别向外作正方形ACGH和BAFE，延长BC边上的高DA交FH于点M，求证：MH＝MF．[来源:学#科#网]点评本题的一般证法是，通过添加辅助线构造全等三角形来证明，上面运用“设而不求”的方法，不仅简捷明了，而且令人耳目一新．[来源:学科网ZXXK]【强化训练】1．若是方程组的解，则（m+n）（n﹣m）的值为（）A.16B.-16C.8D.

6、﹣82．已知是方程组的解，则的值是（）A.B.C.D.3．已知函数，其中、为常数，且，若方程的两个根为、，且，则、、、的大小关系为（）A.B.C.D.4．已知方程2x2－x－1＝0两根分别是x1和x2，则x1＋x2的值等于（）A.2B.C.D.－15．已知两圆的圆心距是3，它们的半径分别是方程的两个根，那么这两个圆的位置关系是（）A.内切B.外切C.相交D.外离6．已知是方程组的解，则m+n=________．7．已知方程组的解满足x+y=2，则a的值为________．8．一元二次方程与的所有实数根之和等于__________.9．在关于x，y的方程组中，若

7、未知数x，y满足x＋y>0，求m的取值范围，并在数轴上表示出来．10．已知关于x的方程组（1）如果该方程组的解互为相反数，求k的值；（2）若x为正数，y为负数，求k的取值范围.