专题1.5 例说多项分数求和的裂项抵消法-备战2018年中考数学一轮微专题突破（解析版）

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1、【专题综述】多项分数和问题是初中数学计算中的重要内容.在多项分数求和问题中，将其中一些分数拆开，使得拆开后的一些分数可以互相抵消，从而达到简化运算的目的，并快速地计算出结果，这种方法称之为裂项抵消法.【方法解读】一、直接裂项：如果多项分数和式中的每一项易于分拆，可以利用裂项抵消法求和.例1：计算：的值是()[来源:Zxxk.Com]A.B.C.D.解：原式学科*网【解读】本题是多项分数求和问题，对原式中的每一项正确分拆是解决这类问题的关键.一般地，对于任意非零实数，有,等，这是最常用的拆项公式.利用这个公式将每一项分拆后，原式中会出现一些互为相反数的项，它们的和为零，从而

2、大大减少原式中的项数，最终达到简化运算的目的，裂项抵消法是解决这类问题的求解通法.【举一反三】观察下列等式：=1－，=－，=－．可得：＋＋=1－＋－＋－==（1）猜想并写出：=（　　）-（　　）．（2）利用上述猜想计算：＋＋＋……＋．（3）探究并计算：＋＋＋……＋．【来源】湖南省娄底市娄星区2017-2018学年七年级上学期期末考试数学试题【答案】（1）-；（2）；（3）．点睛：本题考查了分数的加减法，弄清题中的拆项规律是解题的关键.二、借助通项裂项：如果多项分数和式中的每一项不易于分拆，可考虑分拆其通项，然后再裂项求和.例2：已知，则的整数部分是.解：对于，有又,学科*

3、网.故的整数部分是2008.【解读】本题中和式的每一项不易直接分拆，但通过考虑它的通项,发现它可以分拆为，从而借助于通项来分拆每一项，从而达到裂项相消的目的.【举一反三】已知对于任意正整数，都有，则=.【答案】[来源:Zxxk.Com]三、适当变形后裂项例3：计算：解：原式.学科*网【解读】本题直接拆项后不易求和，由和式的特征易发现，通过对前半部分和式添分母后与后半部分和式的结构更为相近，所以本题可采用添分母分拆法.【举一反三】填空：【答案】四、放缩后裂项例4：设，则的整数部分等于()A．4B．5C．6D．7解：当时，，，于是有,故的整数部分等于4.故选A.【解读】本题是

4、多项分数的求和问题，为了能够利用裂项法解决问题，必须对各项进行合理的放缩.直接利用通项放缩是解决这类数列问题的常用方法之一.【举一反三】[来源:学科网ZXXK]已知，则与1的大小关系是()A．B．C．D．无法确定【答案】C【强化训练】1．已知：，，，……（1）照上面算式，你能猜出；（2）利用上面的规律计算：的值．【来源】江苏省南通市八一中学2017-2018学年七年级上学期第一次阶段测试数学试题【答案】（1）（2）2．已知实数，满足：，且，求的值．【来源】浙江杭州余杭区英特外国语学校2017-2018学年七年级上学期中考试数学试题（含解析）【答案】．[来源:学科网ZXXK

5、]【解析】试题分析：利用二次根式的定义，求出a,b的值，再利用裂项法求和计算.试题解析：，3．观察下列各式的计算结果（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：×；×；（2）用你发现的规律计算：（3）计算（直接写出结果）【来源】江西省永修县军山中学2017-2018学年七年级上学期期中考试数学试题【答案】（1）；（2）（3）4．观察下列各式：……计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=（　　）A.97×98×99B.98×99×100C.99×100×101D.100×101×102【来源】内蒙古呼和浩特市实验教育集团2016-2017学年七年级上学期期中考试

6、数学试题（A卷）【答案】C【解析】试题分析：先根据题中所给的规律，把式子中的1×2，2×3，…，99×100，分别展开，整理后即可求解．解：根据题意可知，3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=3×[(1×2×3−0×1×2)+(2×3×4−1×2×3)+(3×4×5−2×3×4)+…+(99×100×101−98×99×100)]=1×2×3−0×1×2+2×3×4−1×2×3+3×4×5−2×3×4+…+99×100×101−98×99×100=99×100×101.故选：C.点睛：本题是一道找规律题.解题的关键要找出所给式子的规律，并应用于后面求解的式子中

7、.5．有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；（1）经过探究，我们发现：，，设这列数的第5个数为a，那么，a=，a<，哪个正确?请你直接写出正确的结论；（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数(即用正整数n表示第n数)，并且证明你的猜想满足"第n个数与第(n+1)个数的和等于"；（3）设表示，这2016个数的和，即M=.求证：．【来源】北京市第十三中学分校2017—2018学年度第一学期八年级数学期中试题【答案】（1）；（2）；（3）见解析6．观察下列等式，，，把以上三个等式