二次函数与一元二次方程.2二次函数与一元二次方程曾芝刚

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1、22.2二次函数与一元二次方程※教学目标※【知识与技能】理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化.【过程与方法】逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图象与x轴的交点情况。由特殊到一般，提高学生的分析、探索、归纳能力.【情感态度】培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义.【教学重点】探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况.【教学难点】函数à方程àx轴交点，三者之间的关系的理解与运用.※教学过程※一、问

2、题导入问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系.考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地需要多少时间？二、探索新知从上面的问题可以看出，二次函数与一元二次方程有如下关系：1.函数，当函数值y为某一确定值m时，

3、对应自变量x的值就是方程的根.特别是y=0时，对应的自变量x的值就是方程的根.以上关系，反过来也成立.议一议利用以上关系，可以解决什么问题？利用以上关系，可以解决两个方面问题.其一，当y为某一确定值时，可通过解方程来求出相应的自变量x值；其二，可以利用函数图象来找出相应方程的根.2.二次函数的图象与x轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系议一议观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？方程的根是，.方程的根是.方程无实数根.归纳总结一般地，从二次函数的图象可得如下结论：（1）如果抛物线与

4、x轴有公共点公共点的横坐标是，那么当时，函数值是0，因此是方程的一个根.（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.三、掌握新知例利用函数图象求方程的实数根（结果保留小数点后一位）.解：画出二次函数的图象它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.所以方程的实数根为，.我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.观察函数的图象，可以发现，当自变量为2时的函数值小于0（点

5、（2，-2）在x轴的下方）,当自变量为3时的函数值大于0（点（3，1）在x轴的上方）.因为抛物线是一条连续不断的曲线，所以抛物线在这一段经过x轴，也就是说，当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0，即方程在2，3之间有根.我们可以通过去平均数的方法不断缩小根所在的范围.例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间.再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函

6、数值异号，所以这个根在2.5,2.75之间.重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875,2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于，我们可以将2.6875作为根的近似值.　四、巩固练习画出函数的图象，利用图象回答下列问题：（1）方程的解是什么？（2）x取什么值时，函数值大于0？（3）x取什么值时，函数值小于0？　　答案：1.图象如图所示：（1），.

7、（2）当时函数值大于0.（3）当或时函数值小于0.2.五、归纳小结1.抛物线与一元二次方程有何关联？你能不画出抛物线而了解此抛物线与x轴的交点情况吗？你是怎样做的？2.你能引用抛物线来确定相应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体会？※布置作业※从教材习题22.2中选取．※教学反思※本节课的教学过程充分利用了学生已形成的方程、函数之间的关系来类比引导挖掘、探索二次函数与一元二次方程的关系.此外还通过观察图象直观理解、解答联系以及实际观察分析都是必经的途径与方法.