鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.7立体几何中的向量方法二教案含解析20190831237

《鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.7立体几何中的向量方法二教案含解析20190831237》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§8.7　立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离最新考纲　1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用．1．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围[0，π]求法cosθ＝cosβ＝2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝

2、cosβ

3、＝.3．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大

4、小θ＝〈，〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足

5、cosθ

6、＝

7、cos〈n1，n2〉

8、，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．概念方法微思考1．利用空间向量如何求线段长度？提示　利用

9、

10、2＝·可以求空间中有向线段的长度．282．如何求空间点面之间的距离？提示　点面距离的求法：已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离为

11、

12、＝

13、

14、

15、cos〈，n〉

16、.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的

17、角就是两条直线所成的角．(　×　)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　×　)(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(　×　)(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．(　√　)(5)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.(　×　)题组二　教材改编2．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为(　　)A．45°B．135°C．45°或135°D．90°答案　C

18、解析　cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.3．如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为______．28答案　解析　如图，以A为原点，以，(AE⊥AB)，所在直线分别为x轴、y轴、z轴(如图)建立空间直角坐标系，设D为A1B1的中点，则A(0，0，0)，C1(1，，2)，D(1，0，2)，∴＝(1，，2)，＝(1，0，2)．∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，cos∠C1AD＝＝＝，又∵∠C

19、1AD∈，∴∠C1AD＝.题组三　易错自纠4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝CA＝CC1＝2，则可得A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，∴28＝(1，－1，2)，＝(－1，0，2)．∴cos〈，〉＝＝＝＝.5．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若

20、cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________．答案　30°解析　设l与α所成角为θ，∵cos〈m，n〉＝－，∴sinθ＝

21、cos〈m，n〉

22、＝，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.题型一　求异面直线所成的角例1如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．(1)证明　如图所示，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由

23、∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC.28又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.在Rt△FDG中，可得FG＝.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，AC，FG⊂平面AFC，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)解　如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC所在直线为x轴、y轴，

24、

25、为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz，由(1)可得A

26、(0，－，0)，E(1，0，)，F，C(0，，0)，所以＝(1，，)，＝.故cos〈，〉＝＝－.所以直线AE与直线CF所成