鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量微专题九立体几何中的动态问题教案含解析20190831241

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1、微专题九　立体几何中的动态问题[解题策略]立体几何中的“动态”问题就变化起因而言大致可分为两类：一是平移；二是旋转．就所求变量而言可分为三类：一是相关线、面、体的测度；二是角度；三是距离．立体几何动态问题的解决需要较高的空间想象能力与化归处理能力，在各省市的高考选择题与填空题中也时有出现．在解“动态”立体几何题时，如果我们能努力探寻运动过程中“静”的一面，动中求静，往往能以静制动、克难致胜．1．去掉枝蔓见本质——大道至简在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决“动态”问题的关键

2、．例1　如图1，直线l⊥平面α，垂足为O.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.点A是直线l上的动点，点B1在平面α内，则点O到线段CD1中点P的距离的最大值为________．图1答案　＋2解析　从图形分化出4个点O，A，B1，P，其中△AOB1为直角三角形，固定AOB1，点P的轨迹是在与AB1垂直的平面上且以AB1的中点Q为圆心的圆，从而OP≤OQ＋QP＝AB1＋2＝＋2，当且仅当OQ⊥AB1，且点O，Q，P共线时取到等号，此时直线AB1与平面α成45°角．2．极端位置巧分析——穷妙极巧在解决立体几何中的“动态”问题时，对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊之要害，

3、往往能直取答案．例2　在正四面体A－BCD中，E为棱BC的中点，F为直线BD上的动点，则平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是________．答案　解析　本例可用极端位置法来加以分析．6先寻找垂直：记O为△ACD的中心，G为OC的中点，则BO⊥面ACD，EG⊥面ACD.如图2，过点A，E，G的平面交直线BD于点F.此时，平面AEF与平面ACD所面二面角的正弦值为1.由图形变化的连续性知，当点F在直线BD的无穷远处时，看成EF和BD平行，此时平面AEF与平面ACD所成二面角最小(如图3)，其正弦值为.图2　　　　　　　　　图3综上可知，平面AEF与平面ACD所成二面角的

4、正弦值的取值范围为.3．用法向量定平面——定海神针在解决立体几何中的“动态”问题时，有关角度计算问题，用法向量定平面，可将线面角或面面角转化为线线角．例3　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知二面角A1－BD－A的大小为，若空间有一条直线l与直线CC1所成的角为，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是________．答案　解析　如图4，过点A作AE⊥BD于点E，连接A1E，则∠A1EA＝.过点A作AH⊥A1E于点H，则为平面A1BD的法向量，且∠A1AH＝.因为l与直线CC1所成角的大小为，即l与直线AA1所成角的大小为，那么l与直线AH所成角的取值范围为.又因为l与直线A

5、H所成的角和l与平面A1BD所成的角互余，所以直线l与平面A1BD所成角的取值范围是.图44．锁定垂面破翻折——独挡一面6在解决立体几何中的“动态”问题时，对于翻折或投影问题，若能抓住相关线或面的垂面，化空间为平面，则容易找到问题的核心．例4　如图5，在等腰Rt△ABC中，AB⊥AC，BC＝2，M为BC的中点，N为AC的中点，D为线段BM上一个动点(异于两端点)，△ABD沿AD翻折至B1D⊥DC，点A在平面B1CD上的投影为点O，当点D在线段BM上运动时，以下说法错误的是(　　)图5A．线段NO为定长B．CO∈(1，)C．∠AMO＋∠B1DA>180°D．点O的轨迹是圆弧答案　C解析

6、　如图6，记B2为B1在平面ADC上的射影，由B1D⊥DC可得B2D⊥DC.记B2D交AB于点K，则DC⊥平面B1B2K.在△B1DC中，作EM∥B1D交B1C于点E，连接AE，则平面AEM∥平面B1B2K，平面AEM⊥平面B1DC，从而点A在平面B1DC上的射影O在直线EM上．取AM的中点H，则NH＝MC＝，OH＝AM＝，ON＝均为定长．易知点O的轨迹是以点H为圆心、为半径的圆弧，因为CO2＝MO2＋MC2，且MO∈(0,1)，所以CO∈(1，)．又∠AMO＋∠AME＝180°，∠AME＝∠B1DK，由最小角定理知∠B1DB2<180°－∠B1DA，得∠B1DK>∠B1DA，于是∠

7、AMO＋∠B1DA<180°.故选C.图65．觅得定值明轨迹——动中有静在解决立体几何中的“动态”问题时，探寻变化过程中的不变关系，是解决动态问题的常用手段．例5　如图7，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是⊙O上的两个点，H是点B在AC上的射影，当点C运动时，点H运动的轨迹是(　　)6图7A．圆B．椭圆C．抛物线D．不是平面图形答案　A解析　如图8，设⊙O的半径为r，取BC的中点M，则图8OM⊥BC，MH＝MC.因为AB⊥平面BCD，所以BC是AC