2012年华约自主招生全真模拟 数学AAA(含答案以及详解)

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1、教育部考试中心2012年高水平大学自主选拔学业能力测试全真模拟AdvancedAssessmentforAdmission（AAA）数学一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足，则△ABC一定为()A．直角三角形；B.等边三角形；C.等腰直角三角形；D.等腰三角形2．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为______A.B.C.3D.3.设有一个体积为54的正四面体，若以它的

2、四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为______A.1B.2C.3D.44.计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n-1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是A.B.C.D.5．已知，直线与的交点在直线上，则。A.0B.1.C-1D.26．设，则。A1B2C3D47．已知，则．A4/5B3/5C1D-4/58．顶点在同一球面上的正四棱柱中，，则两点间的球面距离为（）A．B．C．D．9.在平面直角坐标系内，将适合且使关于t的方程没有实数根的点所

3、成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为。A81/4B83/4C81/5D83/510.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q，则△F1PQ内切圆面积的最大值是．ABCD二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。一．设．若时，，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值．AAA通用测试数学第一页共二页教育部考试中心二、已知椭圆C：（），其离心率为，两准线之间的距离为。（1）求之值；（2）设点A坐标为(6,0)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按顺时针方向排列），求P点的轨迹方程。三.（本小题满

4、分25分）已知数列{an}中的相邻两项a2k-1，a2k是关于x的方程x2－（3k+2k）x+3k×2k=0的两个根.（1）求数列{an}的前2n项和S2n.（2）记f（n）=（+3），Tn=+++…+，求证：≤Tn≤（n∈N+）四、已知椭圆过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线的交点为B、C。现有以A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足时，求实数m的取值范围。五、已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立。假定某次实验种子发芽则称该次实验是

5、成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。若该研究所共进行四次实验，设表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值（1）求随机变量的数学期望E；（2）记“关于x的不等式的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）。AAA通用测试数学第一页共二页教育部考试中心2012年高水平大学自主选拔学业能力测试全真模拟数学答案及详解1．解：因为，所以已知条件可改写为。容易得到此三角形为等腰三角形。因此选D。2．解：建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0),B(0,1,0),,，P(x,y,0).于是有由于AM⊥MP，所以，即，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度

6、为。因此选B。3.B4..答：若计算器上显示n的时候按下按键，因此时共有1~n-1共n种选择，所以产生给定的数m的概率是。如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9和0以外，还产生了，则概率为，所以所求概率为注意到两式相除即得。5．解：由已知可知，可设两直线的交点为，且为方程，的两个根，即为方程AAA通用测试数学第一页共二页教育部考试中心的两个根。因此，即0。6．解：。7．8．B9.答：令，原方程化为①所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以，或点集N所成区域为图中阴影部分，其面积为10.答：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△

7、F1PQ的周长是定值8，所以只需求出△F1PQ面积的最大值。设直线l方程为，与椭圆方程联立得，设，，则，，于是。AAA通用测试数学第一页共二页教育部考试中心因为，所以内切圆半径，因此其面积最大值是。二、解答题一．解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭端点取得，故有，从而且．若有实根，则，在区间有即消去c，解出即，这时，且．若无实根，则，将代入解得．综上．所以，单调递减故．注重分类讨论二、解：（1）设c为椭圆的焦半径，则。于是有a＝