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《2014年“北约”“华约”自主招生模拟试题--数学》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2014年“北约”“华约”自主招生模拟试题数学(满分150分)第一部分：填空题(共5小题每题10分)1.若tana=2，贝【J4siir&—3sin&cosa-5cos。a-1.2.在复数集C内，方程2%2—(5—i)兀+6=0的解为.3.设x=(15+V220)19+(15+7220严，求数x的个位数字.4.设?1={hI1OO<77<6OO,/7g/V},则集合A小被7除余2且不能被57整除的数的个数为7().5.设P是抛物线y2-4y-4x二0上的动点，点A的处标为(0,-1)，点M在直线
2、PA上，且分用所成的比为2:1,则点M的轨迹方程是.第二部分：解答题(共5小题每题20分)1设集合A=
3、xlogi(3-x)>-2■,瓷>1}.若ACB^0,求实数a的取值范围-l^a<0或0VaW32.为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P(PwN+)条建议.己知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级部至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于2"个2.设平面向量方=(能1)).若存在实数m{m丰0)和角0(0g,2222使向&c=u+(tan2-3)^,
4、J=-ma+tan,JLc丄d.(I)求函数加=f(0)的关系式；(II)令/=tan〃，求函数加=g(t)的极值.3.已知双1111线的两个焦点分别为耳迅，其中耳又是抛物线b=4尢的焦点，点A(-1,2),B(3,2)在双曲线上.(I)求点&的轨迹方程；(11)是否存在直线y二x+加与点佗的轨迹冇.冃•只有两个公共点?若存在，求实数加的值，若不存在,请说明理由.5.已知a,b均为正整数,且d>b,sin&=加7,(其中o<0<-),An=(a2+/异)"・si"0,求证:cr+tr2对一切hg
5、N*,观均为整数参考答案选择题1•由tana=2,得sina=2cosa，有sin2a=4cos2a，即1-cos?a=4cos2a.则cos^a-—，原式二16cos~a-6cosa-5cosa=5cosa=.2.i!ix=a+hi,a,beR，彳弋入原方禾呈整理得(2a2—2b?—5a+6—b)+(4ab+a—5b)i=032宀莎亠+6亠0,解得4ab+a-5b=0a=1233或Q，所以兀=1+,或尤=i.b=f322b=——23.直接求x的个位数字很闲难，需将与x相关数联系，转化成研究
6、其相关数.[解】令y=(15-V220)19+(15-V220)82,贝吹+y=[(15+V220)19+(15+V220)82]4-f(15-V220)19+(15-V220)82b由二项式定理知，对任意正整数n.(15+J^)"+(15—J^5)〃=2(15〃+C；・15"—2・22O+・・・)为整数，月•个位数字为零.因此，兀+y是个位数字为零的整数.再对y估值，因为0<15-7220=<—=0.2，A(15-V220)88<(15-V220)19，15+V22025所以07、7220)19<2x0.2,9<0.4.故x的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到闲难时，将其转化为可研究的问题.4.解:被7除余2的数可写为7R+2.由100W7R+2W600•知14WRW85.57"—2n-2又若某个R使7R+2能被57整除，则可设lk+2=57n.即/:=—-—=8n+-—.77即n-2应为7的倍数.设n=7加+2代入，得A:=57m+16.A14<57m+16<85・”0,1.于是所求的个数为70・5.设点P(x0,)0)，M(兀,y)，有兀="+：
8、X°,y=〉"+字D，得兀0=3兀，北=3y+2而)叮-4儿-4勺=0,于是得点M的轨迹方程是9/-12x-4=0.二、解答题1.解：A={兀一15兀<3},B={”(兀一°)(兀一3a)v()}.当a〉O时，B=
9、x
10、O11、x
12、x213、=0,与AC
14、Bh0不符.综上所述,gw(—1,O)U(O,3)2.证明：假设该校共有加个班级，他们的建议分别组成集合人“2.…，九。
15、这些集合中没有两个相同(因为没有两个班级提出全部相同的建议)，而任何两个集合都有相同的元索，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在中至多冇A(所冇P条建议所组成的集合)的丄x2P=2^个子集，所以m<2P~23.解:⑴由c丄d,iz•&=—•>/3-1•=0Mc-d=[a+(tan20-3)^]-[-ma+btan0]22—*2a—•212a12=-ma+(tan3^-3tan0)b=0,B
16、Jma=(tan3^-3tan0)b，得IJTJTm=—(tan3-3tan0)(<0<—)
