2017年---2017“北约”、“华约”自主招生数学试题

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1、2011年“北约”13校联考自主招生数学试题2012年北约自主招生数学试题1、求的取值范围使得是增函数;2、求的实数根的个数;3、已知的4个根组成首项为的等差数列,求;4、如果锐角的外接圆的圆心为,求到三角形三边的距离之比;5、已知点,若点是圆上的动点,求面积的最小值。6、在中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数?7、求使得在有唯一解的;8、求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形;9、求证:对于任意的正整数,必可表示成的形式,其中222012年自主招生北约联考数学试题解答22222013年北约自主招生数学试题解析1.以和为两根的有理系数多项式的次数

2、最小是多少?解析:显然,多项式的系数均为有理数,且有两根分别为和.于是知,以和为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5.若存在一个次数不超过4的有理系数多项式,其两根分别为22和,其中不全为0,则:即方程组:,有非0有理数解.由(1)+(3)得:(6)由(6)+(2)得:(7)由(6)+(4)得:(8)由(7)(5)得:,代入(7)、(8)得:,代入(1)、(2)知:.于是知,与不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式,其两根分别为和.综上所述知,以和为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2.在的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车,每一行每一

3、列只有一辆车,每辆车占一格,共有几种停放方法?解析:先从6行中选取3行停放红色车,有种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择;最上面一行的红色车位置选定后,中间一行的红色车位置有5种选择;上面两行的红色车位置选定后,最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后,黑色车的位置有3!=6种选择。所以共有种停放汽车的方法.3.已知,求的值.解析:根据条件知:由两式相减得故或①若则,解得.于是知或.22当时,.当时.(2)若,则根据条件知:,于是,进而知.于是知:.综上所述知,的值为或.4.如图,中,为边上中线,分别的角平分线,试比较与的大小关系,并说明理由.解析:如图,延长到

4、,使得,连接.易知,所以.又因为分别为的角平分线,所以,知为线段的垂直平分线,所以.所以.5.数列满足,前项和为,求.解析:根据条件知:.又根据条件知:.所以数列.22又.令,则,所以.即.对,两边同除以,有,即.令,则,,于是知.所以.于是知:.6.模长为1的复数,满足,求的模长.解析:根据公式知,.于是知:.所以的模长为1.7.最多能取多少个两两不等的正整数,使得其中任意三个数之和都为素数.解析:所有正整数按取模3可分为三类:型、型、型.首先,我们可以证明,所取的数最多只能取到两类.否则,若三类数都有取到,设所取型数为,型数为,型数为,则,不可能为素数.所以三类数中,最多能取到

5、两类.其次,我们容易知道,每类数最多只能取两个.否则,若某一类型的数至少取到三个,设其中三个分别为,则,不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.结合上述两条,我们知道最多只能取个数,才有可能满足题设条件.另一方面,设所取的四个数为1、7、5、11,即满足题设条件.综上所述,若要满足题设条件,最多能取四个两两不同的正整数.8.已知,满足,且22,求证:.解析:根据条件知:,(1)另一方面,令,则中每个数或为,或为.设其中有个,个,则:(2)由(1)、(2)知:(3)而为奇数,不可能为0,所以.于是知:.从而知:,即得.同理可知:.命题得证.9.对任意的,求的值.解析:根据二倍角和三倍

6、角公式知:.10.已知有个实数,排列成阶数阵,记作,使得数阵中的每一行从左到右都是递增的,即对任意的,当时,都有.现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的阶数阵,记作22,即对任意的,当时,都有.试判断中每一行的个数的大小关系,并说明理由.解析:数阵中每一行的个数从左到右都是递增的,理由如下:显然,我们要证数阵中每一行的个数从左到右都是递增的,我们只需证明,对于任意,都有,其中.若存在一组.令,其中,.则当时,都有.也即在中,至少有个数小于,也即在数阵的第列中,至少排在第行,与排在第行矛盾.所以对于任意,都有,即数阵中每一行的个数从左到右都是递增的. 2011

7、年高水平大学自主选拔学业能力测试(华约)数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足且,则(A)(B)(C)(D)【答案】D2.在正四棱锥P-ABCD中,M,N分别为PA,PB的中点,且侧面与地面所成二面角的正切值为。则一面直线DM与AN所成交角的余

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