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时间:2020-03-28
《2011年华约自主招生数学试题及详解.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2011年高水平大学自主选拔学业能力测试(华约)数学部分注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题1.设复数z满足
2、z
3、<1且则
4、z
5、=()2.在正四棱锥P-ABCD中,M、N分别为PA、PB的中点,且侧面与底面所成二面角的正切为.则异面直线DM与AN所成角的余弦为()3.已知,过点(-1,1)的直线l与该函数图象相切,且(-1,1)不是切点,则直线l的斜率为()4.若的最小值和最大值分别
6、为()6.已知异面直线a,b成60°角.A为空间一点则过A与a,b都成45°角的平面()A.有且只有一个B.有且只有两个C.有且只有三个D.有且只有四个7.已知向量则的最小值为()8.AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦,O为坐标原点,且,C为抛物线准线与x轴的交点,则的正切值为()10.一个正11边形用对角线划分为9个三角形,对角线在正11边形内两两不相交,则()A.存在某种分法,所分出的三角形都不是锐角三角形B.存在某种分法,所分出的三角形恰有两个锐角三角形C.存在某种分法,所分出的三角形至少有3个锐角三
7、角形D.任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形二、解答题12.已知圆柱形水杯质量为a克,其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽略不计,且水杯直立放置).质量为b克的水恰好装满水杯,装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处.(I)若b=3a,求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值;(II)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低?为什么?13.已知函数.令.(I)求数列的通项公式;(II)证明.14.已知双曲线分别为C的左右焦点.P为C右支上一点,且使.(I)求C的离心率e;(I
8、I)设A为C的左顶点,Q为第一象限内C上的任意一点,问是否存在常数λ(λ>0),使得恒成立.若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.15.将一枚均匀的硬币连续抛掷n次,以pn表示未出现连续3次正面的概率.(I)求p1,p2,p3,p4;(II)探究数列{pn}的递推公式,并给出证明;(III)讨论数列{pn}的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义.2011年华约数学参考答案一、选择题DBCBBBBADD二、解答题11解:(I),整理得(II)由已知,与(I)比较知.又,,,而,,代入得,,,12解:不妨
9、设水杯高为1.(I)这时,水杯质量:水的质量=2:3.水杯的重心位置(我们用位置指到水杯底面的距离)为,水的重心位置为,所以装入半杯水的水杯的重心位置为(II)当装入水后的水杯的重心最低时,重心恰好位于水面上.设装x克水.这时,水杯质量:水的质量=a:x.水杯的重心位置为,水的重心位置为,水面位置为,于是,解得13解由(I)方法一:先求出,猜想.用数学归纳法证明.当n=1显然成立;假设n=k成立,即,则,得证.(II)方法一:证明.事实上,.我们注意到,(贝努利(Bernoulli)不等式的一般形式:,)于
10、是14解:(I)如图,利用双曲线的定义,将原题转化为:在ΔPF1F2中,,E为PF1上一点,FEPF12aP2cF22xPE=PF2,EF1=2a,F1F2=2c,求.设PE=PF2=EF2=x,FF2=,,,.ΔEF1F2为等腰三角形,,于是,.(II)15分析与解:(I)显然p1=p2=1,;又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有:正正正正或正正正反或反正正正,故.(II)共分三种情况:①如果第n次出现反面,那么前n次不出现连续三次正面的概率;②如果第n次出现正面,第n-1次出现反面,那么前n次不出现
11、连续三次正面和前n-2次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是;③如果第n次出现正面,第n-1次出现正面,第n-2次出现反面,那么前n次不出现连续三次正面和前n-3次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是.综上,.(),④(III)由(II)知,()⑤,④-×⑤,有()所以时,pn的单调递减,又易见p1=p2>p3>p4>….时,pn的单调递减,且显然有下界0,所以pn的极限存在.对两边同时取极限可得.其统计意义:当投掷的次数足够多时,不出现连续三次正
12、面向上的次数非常少,两者比值趋近于零.
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