2011年华约自主招生数学试题及详解.doc

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1、2011年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学部分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题1．设复数z满足

2、z

3、<1且则

4、z

5、＝()2．在正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为.则异面直线DM与AN所成角的余弦为()3．已知，过点(－1,1)的直线l与该函数图象相切，且(－1,1)不是切点，则直线l的斜率为()4．若的最小值和最大值分别

6、为()6．已知异面直线a，b成60°角.A为空间一点则过A与a，b都成45°角的平面()A.有且只有一个B.有且只有两个C.有且只有三个D.有且只有四个7．已知向量则的最小值为()8．AB为过抛物线y2＝4x焦点F的弦，O为坐标原点，且，C为抛物线准线与x轴的交点，则的正切值为()10．一个正11边形用对角线划分为9个三角形，对角线在正11边形内两两不相交，则（）A.存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B.存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C.存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三

7、角形D.任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形二、解答题12.已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）.质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处.（I）若b＝3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；（II）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？13.已知函数.令.(I)求数列的通项公式；(II)证明.14.已知双曲线分别为C的左右焦点.P为C右支上一点，且使.(I)求C的离心率e；(I

8、I)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得恒成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.15.将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率.(I)求p1，p2，p3，p4；(II)探究数列{pn}的递推公式，并给出证明；(III)讨论数列{pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.2011年华约数学参考答案一、选择题DBCBBBBADD二、解答题11解：（I），整理得（II）由已知，与（I）比较知.又，，，而，，代入得，，，12解：不妨

9、设水杯高为1.（I）这时，水杯质量：水的质量＝2：3.水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为，水的重心位置为，所以装入半杯水的水杯的重心位置为(II)当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上.设装x克水.这时，水杯质量：水的质量＝a：x.水杯的重心位置为，水的重心位置为，水面位置为，于是，解得13解由(I)方法一：先求出，猜想.用数学归纳法证明.当n=1显然成立；假设n=k成立，即，则，得证.(II)方法一：证明.事实上，.我们注意到，（贝努利（Bernoulli）不等式的一般形式：，）于

10、是14解：(I)如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔPF1F2中，，E为PF1上一点，FEPF12aP2cF22xPE＝PF2，EF1＝2a，F1F2＝2c，求.设PE＝PF2＝EF2＝x，FF2＝，，，.ΔEF1F2为等腰三角形，，于是，.(II)15分析与解：(I)显然p1＝p2＝1，；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故.(II)共分三种情况：①如果第n次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面的概率；②如果第n次出现正面，第n－1次出现反面，那么前n次不出现

11、连续三次正面和前n－2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是；③如果第n次出现正面，第n－1次出现正面，第n－2次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前n－3次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是.综上，.（），④(III)由(II)知，（）⑤，④－×⑤，有（）所以时，pn的单调递减，又易见p1＝p2＞p3＞p4＞….时，pn的单调递减，且显然有下界0，所以pn的极限存在.对两边同时取极限可得.其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正

12、面向上的次数非常少，两者比值趋近于零.