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1、【智博教育原创专题】浅析函数中双变量的任意与存在问题 浅析函数中双变量的任意与存在问题 邓冬华冷世平 恒成立、能成立问题是高中数学的一类重要问题,也是高中数学的难点.这类问题的解决通常思维容量较大,往往需要等价转化.解决一个变量的任意与存在问题是比较简单的,但对于两个变量的任意与存在问题,学生普遍觉得比较困难. 请看下面的问题：引例：设f(x)是定义在实数集R上的奇函数,当x0时,f(x)x24x.求f(x)的解析式,并解不等式f(x)x；设g(x)2x1m,若对任意x1[1，4],总存
2、在x2[2，5],使f(x1)g(x2),求实数m的取值范围. 对于问题,标答如下：当x1[1，4]时,f(x1)[3，4]. ∵g(x)2x1m是R上的增函数,∴当x2[2，5]时,g(x2)[2m，16m],∵对任意x1[1，4],总存在x2[2，5]使f(x1)g(x2),∴[3，4][2m，16m], 2m3则,解得12m5,故实数m的取值范围是[12，5]. 16m4本例出现的“x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)”的结构,就是所说的双变量的任意与存在问题.本例的解答过程中
3、的[3，4][2m，16m],很多学生想不通,或想得不够自然.对于两个变量的任意与存在问题有没有学生更容易接受的解决策略呢？这正是要探讨的 内容. 一、任意与存在问题的四种类型 记区间D1,D2分别是函数yf(x),yg(x)定义域的子区间.双变量的任意与存在问题包含以下四种基本类型： 类型1.x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)fmin(x)gmax(x).其等价转化的基本思想是：函数yf(x)的任一函数值均大于函数yg(x)的任一函数值,只需fmin(x)gmax(x)即可.同理
4、有：x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)fmax(x)gmin(x). 例1已知f(x)8x216xk(kR),g(x)2x35x24x.若对x1、x23,3,都有f(x1)g(x2)成立,求k的取值范围. 分析与解：本题的关键是对条件“对x1、x23,3,都有f(x1)g(x2)成立”进行处理.上面的分析知,其等价于f(x)maxg(x)min,故先判定单调性求其相应的最值. -1- f(x)8x216xk=8(x1)2k8,g'(x)6x210x42(x1)(3x2)知, f(
5、x)在[3,1]单调递减,在[1,3]单调递增,且 f(3)24k,f(3)120k,fmax(x)120k. 22g(x)在[3,1]单调递增,在[1,]上单调递减,在[，3]上单调递增,且 33228g(3)21,g,g(x)min21. 327120k21k141,即k[141,) 类型2.x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)fmin(x)gmin(x).其等价转化的基本思想是：函数yf(x)的任一函数值大于函数yg(x)的某些函数值,但并不要求大于yg(x)的所有函数值,故
6、只需fmin(x)gmin(x)即可. 同理有：x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)fmax(x)gmax(x). 125例2设函数fxlnxx,若对于1．函数gxx22bx1233x,]x1[1,2x2[0,1],使fx1gx2成立,求实数b的取值范围． 分析与解：已知“对于x1[1,2],x2[0,1],使f(x1)g(x2)成立”g(x)在0,1上的最小值小于等于f(x)在1,2上的最小值,先分别求函数f(x),g(x)的最小值,最后解不等式g(x)minf(x)min得实数b的
7、取值范围． 2易知函数f(x)在(1,2)上单调递增,故f(x)在[1,2]上fmin(x)f(1)； 355又g(x)x22bx(xb)2b2,x[0,1] 121252①当b0时,g(x)在[0,1]上为增函数,gmin(x)g(0),舍去 1235215②当0b1时,gmin(x)g(b)b2,b2及0b1得,b1 212312 72③当b1时,g(x)在[0,1]上为减函数,g(x)ming12b及b1得b1. 1231综上,b的取值范围是[,). 2类型3.x1D1,x
8、2D2,f(x1)g(x2)fmax(x)gmax(x).其等价转化的基本思想 是：函数yf(x)的某些在函数值大于函数yg(x)的任一函数值,只需要yf(x)有函数值大于即可,不是所有函数值,故只需fmax(x)gmax(x)即可. -2- 同理有：x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)fmin(x)gmin(x).例3已知函数g(x)2x2exln，h(x)x2mx4,若x1(0,1],对x2[1,2],x2总有g(x1)h(x2)成立,求实数m的取值范围. 分析与解：本题的关键在
