函数中的任意和存在性问题

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1、函数中的任意和存在性问题二解答题教学目标：结合具体函数，讨论关于任意与存在性问题的一般解题方法过程与方法通过研究具体函数及其图象，将任意与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系授课过程：引入：已知函数，，（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若函数在上无零点，求的最小值；（Ⅲ）若对任意给定的，在上总存在两个不同的（），使得成立，求取值范围。问题：已知函数，函数，当时，对任意，是否存在，成立.若呢？变式1：对任意，存在，成立，求的取值范围.的值域是的值域的子集即可.〔的值域是的值域的子集即可.〕变式2：存在，使得成立，求的取值范

2、围.〔的值域与的值域的交集非空.〕变式3：对任意，存在，使得成立，求的取值范围.〔〕走进高考（09浙江理）已知函数,,其中.设函数是否存在,对任意给定的非零实数,存在惟一的非零实数（）,使得成立？若存在,求的值;若不存在,请说明理由．小结：1.对函数中的存在性与任意性问题:相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数的最值大小.2.解题中要注意数学思想方法的应用:如转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等.作业：已知函数，函数自主探究其他任意和存在性问题，并总结一般性结论。例1：（1）已知求实数的取值范围。7

3、第页共7页（2）已知，对任意，的值域是，求实数的取值范围。分析：本题第（1）问是一个恒成立问题，由于，恒成立，则此问题等价于恒成立，又等价于时的最小值恒成立.由于在时为增函数，所以，于是，.第（2）问是一个恰成立问题，即当时，的值域恰为,与（1）不同的是，（1）是时，恒成立，因此允许在时，的取值为，，------等等.而的值域为，则当时，只能取，而不能是其他.，当时，由于，与其值域为矛盾，所以有.注意到当时，函数都是上的增函数，因而也是上的增函数.于是在时的最小值为，令，即，得.小结：1、解恒成立题的基本思路是：若在D上

4、恒成立，等价于在D上的最小值成立，若在D上恒成立，则等价于在D上的最大值成立.2、解决恰成立问题的的基本思路是：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.例3：函数（1）定义域为区间，求实数的取值范围.（2）在区间上有意义，求实数的取值范围；分析：（1）由题意知不等式的解集为[-1,2]，即的解集为[-1,2]，则的两根为-1，2则或（2）由题意知，不等式在[-1,2]上恒成立7第页共7页即:恒成立或时，或 2)能成立问题 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存

5、在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.如已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围______（答：）3)恰成立问题若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为；若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为.3.已知两函数，k为实数。（Ⅰ）对任意的，有成立，求实数k的取值范围；（Ⅱ）对任意的，，有成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）对任意的，总存在，有成立，求实数k的取值范围。4.设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围．（盐城市2009/2010学年

6、度高三年级第一次调研考试）20．已知函数.（Ⅰ）当时，求证：函数在上单调递增；（Ⅱ）若函数有三个零点，求的值；（Ⅲ）若存在，使得，试求的取值范围.20.解：（Ⅰ）…………………………………3分由于，故当时，，所以，故函数在上单调递增……………………………………………………………5分（Ⅱ）当时，因为，且在R上单调递增，故有唯一解……………………………………………………………………7分所以的变化情况如下表所示：x0－0＋递减极小值递增又函数有三个零点，所以方程有三个根，而，所以，解得……………………………11分（Ⅲ）因为存在

7、，使得，所以当时，…………12分由（Ⅱ）知，在上递减，在上递增，所以当时，，7第页共7页而，记，因为（当时取等号），所以在上单调递增，而，所以当时，；当时，，也就是当时，；当时，………………………14分①当时，由，②当时，由，综上知，所求的取值范围为…………………………………………16分（南京市2010届高三第二次模拟考试数学试题）19.已知函数（1）当a=1时，求函数f(x)的单调增区间（2）求函数f(x)区间【1，e】上的最小值；（3）设，若存在，使得成立，求实数a的取值范围。7第页共7页（常州市2009～2010学

8、年度第一学期期末联考）20.设为实数，函数，的图象在点处的切线的斜率为1.⑴求实数的值；⑵若对于任意，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；⑶设方程的两个实数根为，若对于任意，总存在，使得恒成立，记，当时，求实数的值.所以实数数的取值范围是9分7第页共7页（南京市2010届高三第三次模拟考试）20.已知函数（1）