函数中的任意和存在性问题(整理)

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1、函数中的恒成立、恰成立和能成立问题教学目标：结合具体函数，讨论关于任意与存在性问题的一般解题方法过程与方法通过研究具体函数及其图象，将任意与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系问题：已知函数，函数，当时，对任意，是否存在，成立.若呢？变式1：对任意，存在，成立，求的取值范围.的值域是的值域的子集即可.变式2：存在，使得成立，求的取值范围.的值域与的值域的交集非空.变式3：对任意，存在，使得成立，求的取值范围.《小结》：对函数中的存在性与任意性问题:相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数的最值

2、大小.例1：（1）已知求实数的取值范围。（2）已知，对任意，的值域是，求实数的取值范围。分析：本题第（1）问是一个恒成立问题，由于，恒成立，则此问题等价于恒成立，又等价于时的最小值恒成立.由于在时为增函数，所以，于是，.第（2）问是一个恰成立问题，即当时，的值域恰为,与（1）不同的是，（1）是时，恒成立，因此允许在时，的取值为，，------等等.而的值域为，则当时，只能取，而不能是其他.3第页共3页，当时，由于，与其值域为矛盾，所以有.注意到当时，函数都是上的增函数，因而也是上的增函数.于是在时的最小值为

3、，令，即，得.小结：1、解恒成立题的基本思路是：若在D上恒成立，等价于在D上的最小值成立，若在D上恒成立，则等价于在D上的最大值成立.2、解决恰成立问题的的基本思路是：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.恰成立问题：若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为；怎么理解若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为.例2：函数（1）定义域为区间，求实数的取值范围.，-1,2是其根。。复习时该回顾（2）在区间上有意义，求实数的取值范围；分析：（1）由题意知不等式的解

4、集为[-1,2]，即的解集为[-1,2]，则的两根为-1，2则或（2）由题意知，不等式在[-1,2]上恒成立即:恒成立或时，或能成立问题（存在）： 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.练习1.如已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围______3第页共3页练习2.已知两函数，k为实数。（Ⅰ）对任意的，有成立，求实数k的取值范围；（Ⅱ）对任意的，，有成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）对任意的，总存在，有成立，求实数k的取值范围。练习

5、3.已知函数（1）求证：函数必有零点（2）设函数若在上是减函数，求实数的取值范围；3第页共3页