例析函数中双变量的任意与存在混搭的等式问题

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1、例析函数中双变量的任意与存在混搭的等式问题　　近几年高考，函数中双变量的任意与存在混搭的等式问题，越来越受命题人的青睐.对于这类问题，学生很是困惑.下面就此类问题总结归纳如下：　　命题1x1∈A，x2∈B，使得f（x1）=g（x2）成立f（x）的值域包含于g（x）的值域{f（x）

2、x∈A}{g（x）

3、x∈B}.　　命题2x1∈A，x2∈B，都有f（x1）=g（x2）成立等价于f（x）的值域等于g（x）的值域{f（x）

4、x∈A}={g（x）

5、x∈B}.　　命题3x1∈A，x2∈B，使得f（x1）=g（x2）成立f（x）的值域与g（x）的值域相交非空{f（x）

6、x∈A}

7、∩{g（x）

8、x∈B}≠.　　命题4x1∈A，x2∈B，都有f（x1）≠g（x2）成立f（x）的值域与g（x）的值域相交为空集{f（x）

9、x∈A}∩{g（x）

10、x∈B}=.　　从集合子集的定义、集合相等的定义、集合交集的定义，不难理解上述命题的合理性.有了这些命题的帮助，我们能很好地破解与此相关的一些难题.　　例1已知函数f（x）=x3-（k2-k+1）x2+5x-2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R.设函数q（x）=g（x），x≥0，　　f（x），x<0.是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x

11、1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.5　　解当x0时，有q′x=g′x=2k2x+k，因为当k=0时不合题意，因此k≠0.　　下面讨论k≠0的情形，记A={g′（x）

12、x>0}，B={f′（x）

13、x<0}，则A=（k，+∞），B=5，+∞　　（?。┑?x1>0时，q′x在0，+∞上单调递增，所以要使q′x2=q′x1成立，只能x2<0，由命题1知AB，因此有k≥5；　　（??）当x10，由命题1知BA，因此k≤5.　　综合（?。?（??）k=5.　　当k=5时，有A=B.则x10，使得q′x2=q′x1成立，因为q′x在0，+∞上单调递增，所以x2的值是唯

14、一的；　　同理，x1<0，即存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使q′x2=q′x1成立.　　所以k=5满足题意.　　例2已知函数f（x）=4x2-72-x，x∈[0，1].　　（Ⅰ）求f（x）的单调区间和值域；　　（Ⅱ）设a≥1，函数g（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围.　　解（Ⅰ）对函数f（x）求导，得f′（x）=-4x2+16x-7（2-x）2=-（2x-1）（2x-7）（2-x）2.　　令f′（x）=0解得x=12或x=72.　　所以，当x∈（0，1

15、2）时，f（x）是减函数；当x∈（12，1）时，f（x）是增函数.5　　当x∈[0，1]时，f（x）∈[-4，-3].　　（Ⅱ）对函数g（x）求导，得g′（x）=3（x2-a2）.　　因为a≥1，当x∈（0，1）时，g′（x）<3（1-a2）≤0.　　因此当x∈（0，1）时，g（x）为减函数，从而当x∈[0，1]时有g（x）∈[g（1），g（0）].　　又g（1）=1-2a-3a2，g（0）=-2a，即x∈[0，1]时有g（x）∈[1-2a-3a2，-2a].　　任给x1∈[0，1]，f（x1）∈[-4，-3]，存在x0∈[0，1]使得g（x0）=f（x1），由命题

16、1　　知问题转化为[1-2a-3a2，-2a][-4，-3].即1-2a-3a2≤-4，　　-2a≥-3.解得1≤a≤32.　　故a的取值范围为[1，32].　　例3已知函数f（x）=x-4，g（x）=x3-3a2x-2a（其中a≥1），　　（Ⅰ）若对于任意x1∈[0，2]，x2∈[0，1]，都有f（x1）=g（x2）成立，求a的取值范围.　　（Ⅱ）若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，求a的取值范围.　　解（Ⅰ）当x∈0，2时，f（x）单调递增，所以，f（x）∈[f（0），f（2）]，即f（x）∈[-4，-2].由例2知g（x）∈[1-2a

17、-3a2，-2a].　　由命题2知，f（x）的值域等于g（x）的值域[1-2a-3a2，-2a]=[-4，-2].即1-2a-3a2=-4，　　-2a=-2.解得a=1.故a的取值范围为{1}.5　　（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）∈[f（0），f（1）]=[-4，-3]，g（x）∈[1-2a-3a2，-2a]，由命题3知问题转化为[-4，-3]∩[1-2a-3a2，-2a]≠.当a≥1时有1-2a-3a2≤-4，所以只需-2a≥-4即a≤2.又a≥1，所以1≤a≤2.　　例4已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x（a∈R），g（x）=196x-13.