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《难点7-双变量的“任意性”“存在性”问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、难点7 双变量的“任意性”与“存在性”问题 1.“存在=存在”型∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)=g(x2),等价于函数f(x)在D1上的值域A与函数g(x)在D2上的值域B的交集不为空集,即A∩B≠⌀.其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分.典例1 已知函数f(x)=x2-ax3,a>0,x∈R.g(x)=.若∃x1∈(-∞,-1],∃x2∈,使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围.解析 ∵f(x)=x2-ax3,∴f'(x)=2x-2ax2=2x(1-ax)
2、.令f'(x)=0,得x=0或x=.∵a>0,∴>0,∴当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1]上单调递减,f(x)在(-∞,-1]上的值域为.∵g(x)=,∴g'(x)==.∵当x<-时,g'(x)>0,∴g(x)在上单调递增,∴g(x)0),若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)
3、=g(x2)成立,则实数a的取值范围是( ) A.B.[1,2)C.D.答案 C 设函数f(x),g(x)在[0,1]上的值域分别为A,B,则“存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立”等价于“A∩B≠⌀”.当0≤x≤时,f(x)=-x+单调递减,所以0≤f(x)≤;当0,所以f(x)=单调递增,0,所以g(x)=
4、asinx-a+1在[0,1]上单调递增,其值域B=.由A∩B≠⌀,得0≤1-a≤或0≤1-≤,解得≤a≤2.故选C. 2.“任意=存在”型∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)=g(x2),等价于函数f(x)在D1上的值域A是函数g(x)在D2上的值域B的子集,即A⊆B.其等价转化的基本思想:函数f(x)的任意一个函数值都与函数g(x)的某一个函数值相等,即f(x)的函数值都在g(x)的值域之中.典例2 已知函数f(x)=,x∈[0,1].(1)求f(x)的单调区间和值域;(2)设a≥1,函数g(x)=
5、x3-3a2x-2a,x∈[0,1].若对于任意的x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.解析 (1)f'(x)==-,x∈[0,1].令f'(x)=0,解得x=或x=(舍去).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:x01f'(x)-0+f(x)-↘-4↗-3 所以f(x)的递减区间是,递增区间是.f(x)min=f=-4,又f(0)=-,f(1)=-3,所以f(x)max=f(1)=-3.故当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[-4,-3].
6、(2)“对于任意的x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立”等价于“在x∈[0,1]上,函数f(x)的值域B是函数g(x)的值域A的子集,即B⊆A”.因为a≥1,且g'(x)=3(x2-a2)<0,所以当x∈[0,1]时,g(x)为减函数,所以g(x)的值域A=[1-2a-3a2,-2a].由B⊆A,得1-2a-3a2≤-4且-2a≥-3,又a≥1,故1≤a≤.对点练已知函数f(x)=x2-ax3(a>0),x∈R.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若对于任意的x1∈(2
7、,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)·f(x2)=1.求a的取值范围.解析 (1)由已知,有f'(x)=2x-2ax2(a>0).令f'(x)=0,解得x=0或x=.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0f'(x)-0+0-f(x)↘0↗↘所以,f(x)的单调递增区间是;单调递减区间是(-∞,0),.当x=0时,f(x)有极小值,且极小值f(0)=0;当x=时,f(x)有极大值,且极大值f=.(2)由f(0)=f=0及(1)知,当x∈时,f(x)>0;当x∈时,f(x
8、)<0.设集合A={f(x)
9、x∈(2,+∞)},集合B=,则“对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)·f(x2)=1”等价于A⊆B.显然,0∉B.下面分三种情况讨论:①当>2,即0
