自主招生——二次函数

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1、第二讲二次函数基础知识回顾：有关二次函数的内容例题精讲例1、设是方程的两根。求满足，，的二次函数。分析二次函数的解析式中，共有三个待定系数。题设条件中有三个等式，故本题可运用列方程组方法求解。解1设二次函数，由题意，（1）+（2），（1）-（2）由（3）、（4）、（5）解得因此，所求函数为解2由，可设二次函数，则（1）+（2）（1）--（2）由（3）、（4）解得因此，所求函数为例2、已知不等式的解集是，求不等式的解集。分析求不等式的解，有两条思考途径。一是直接由条件推出的关系；二是寻找不等式与的联系。解1因为不等式的解集是，得且是方程的两个根。由得所以，

2、不等式的解集为。解2因为不等式的解集是，得且是方程的两个根。于方程中，因为，得。设，方程可化为。由是方程的两个根，得是方程的两个根。又方程的两根异号及，得。所以，不等式的解集为。例3、设二次函数满足，且的图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式。分析本题给出了三个条件，“”，表明此二次函数图象的对称轴为；“在轴上的截距为1”，表明；“在轴上截得的线段长为”，表明。由此得如下解法。解1由，得函数的图象的对称轴为。故可设。由，又，得（1）又在轴上的截距为1，得（2）解（1）、（2），得。所以，。解2设由在轴上的截距为1，得；由，得，即。故。由及

3、，得。所以，。解3由函数满足及在轴上截得的线段长为，可得的两根为。故可设。由在轴上的截距为1，得。所以，。例4、已知，若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围。分析函数解析式可化为。它的图象是由两段抛物线弧组成，因此方程的三个不同的实数解表现为直线与其中一段抛物线弧有两个交点，与另一段抛物线弧仅有一个交点。观察它们的图象易知，当时，方程有一解；当时，方程有两解。解（1）时，由，得。由两根之和为1，得此方程大于1的解至多一个。设，原方程可化为。原方程有一个大于1的解，即此方程有一个正解。由，得时，方程有一个大于1的解；（2）时，由，得。设，原方程可

4、化为。原方程有两个小于1的解，即此方程有两个负解。由，得时，方程有两个小于1的解；综合（1），（2），当时，关于的方程有三个不同的实数解。例5、求实数为何值时，方程的两个实根（1）分别在区间（1，2）和（3，4）内；（2）绝对值小于1。分析本题运用图象法求解比较简捷。其中，两个实根的绝对值小于1，即两个实根均在区间内。解设。（1）由题意，得所以，当时，原方程两实根分别在区间（1，2）和（3，4）内；（2）由题意，两个实根的绝对值小于1，即两个实根均在区间内。因而有所以，当时，原方程的两个实根的绝对值小于1。例6、已知方程有一个根小于，其余三个根都大于，求

5、的取值范围。分析设，原方程可化为，因而原方程的四个根是互为相反数的两对根。解设，原方程可化为。由题意，此方程的两个根都是正根，且一根大于1，另一根小于1。设，则。所以，当时，原方程的四个根中，有一个根小于，其余三个根都大于。例7、已知，证明关于的方程有两个不等的实根，且这两个根分别在区间和内。分析设，本题即要证且。解有两个不等的实根，且这两个根分别在区间和内。例8、已知是实数，函数，，当时，。（1）证明：；（2）证明：当时，；（3）设，当时，的最大值为2，求。分析证明（1）、（2）的关键在于通过确定系数的取值范围，即用在区间上的值表示系数；（3）需要通过

6、条件“当时，的最大值为2”，确定系数的值。由于题设条件中多为不等关系，因而需要注意“夹逼思想”的应用。证明（1）；（2）若，当时，。由；。及，得；若，当时，。同理可得。所以，当时，；解（3）由,在上，。由。由，得时，二次函数取最小值，即是二次函数的图象的对称轴。因而，。所以，。例9、已知函数，当时，，求证：当时，有奥数教程83页例4例10、是否存在二次函数，使得当时，，同时成立？例11、若函数在区间上的最小值为，最大值为，求。分析欲求的值，需按题设条件列出关于的两个方程。注意到求二次函数最值时，要判断二次函数的顶点是否在给定区间内，可以通过分类讨论的方法

7、予以解决。解（1）当时，由，即是方程的两根。但此方程两根异号，故此时无解；（2）当时，。若=；若=（不合题意）。因此，所求区间为；（3）当时，由因此，所求区间为。综上，所求区间为或。例12、设函数对于给定的负数，有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式都成立。（1）求的表达式。（2）当为何值时，最大？并求出这个最大值。分析（1）由为负数，函数的图象是开口向下的抛物线。由，函数的图象的顶点位于轴的右方。由此应用图象可求出。解（1）,，即函数的图象的顶点位于轴的右方，的最大值为。若，即时，则是方程的较大的根。由，解得;若，即时，则是方程的较小的根。由，解得

8、。所以，分析（2）函数的表达式中，自变量比较分散，可以通过分子有理化将自变量集中