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1、实验一割圆术、生长模型 一、问题1用逼近的方法求圆的面积。2对于及的不同值观察数列的变化情况。二、实验目的掌握极限的思想方法，增加对数列极限定义的理解,初步了解混沌现象。三、预备知识1割圆术东汉数学家刘徽利用“割圆术”计算圆的面积及圆周率，“割圆术”的原理是用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积，具体计算如下。在单位圆内作内接正六边形，其面积记为边长记为，在此基础上作圆内接正12边形，面积记为边长为一直做下去，记该圆的内接正边形面积为边长为。-5-通过上面两式，从开始进行迭代，可逐步计算出与。由于所考虑的是单位圆，计算出的即
2、为圆周率的近似值，越大与越接近。 2生长模型设某生物群体第n代个体总数为Yn(n=0,1,2····),由于受到环境的制约其总量不可能无限制增长，即满足所谓的“阻滞增长”规律。设总数上限为Y，则第n+1代的总量Yn＋1与Yn成正比且与Y与Yn之间的差成正比，即（为比例常数）若令xn＝Yn/Y，则上式可变为 这就是著名的逻辑斯蒂方程，人口或其他生物体在有限资源环境下的增长，传染病在封闭区间的传播，耐用消费品在有限市场上的销售等实际问题均可简化地用该方程来描述。 四、实验内容与要求-5-1在“割圆术”中，求，的前20项，观察的
3、近似值，体会极限的思想方法。2对取让分别取、、、中的一些值观察数列的变化情况，由此你能得出什么结论？ 五、操作提示1“割圆术”中，计算anAn的Mathematica参考程序：n=20;a=1;f[x_]:=Sqrt[2-2*Sqrt[1-x^2/4]];(*定义函数*)Print[1,"",1,"",N[3*Sqrt[3]/2,10]];(*打印a1，A1*)For[i=2,i<=n,i++,A=3*2^(i-2)*a;a=f[a];Print[i,"",N[a,10],"",N[A,10]];]2下列程序可求出的前项，
4、且把这些点描出：k=值；n=值；x0=值；g[x_]:=k*x*(1-x);L=NestList[g,x0,n]ListPlot[L,PlotJoined->True];-5-下面的程序是取k=3.8;初值分别为0.5、0.5001，进行100次迭代的结果，可以看出初值差之毫厘，后面的项失之千里：k=3.8;n=100;x0=0.5;x1=0.5001;g[x_]:=k*x*(1-x);L=NestList[g,x0,n]L1=NestList[g,x1,n]L1-L键入以下程序可得以k为横坐标xn值为纵坐标，对每个k值都
5、迭代150次得到的的数据图，这个图非常典型，许多有关混沌的著作中都提到。(*x(n+1)=kx(n)(1-x(n))的分岔图及实现程序*)x0=0.50;F[x_]:=Module[{},k*x*(1-x)];w={};For[k=3,k<=4,k=k+0.01,L=NestList[F,x0,200];m=Table[{k,L[[i]]},{i,150,200}];w=Union[w,m]];ListPlot[w,AxesLabel->{"k","x(n)"},PlotStyle->{PointSize[0.002],R
6、GBColor[0,0,1]}]-5- 六、实验习题1由所定义的数列，称为斐波那契数列，试求出数列的前100项的值，观察的变化情况，并从理论上证明存在。2用割圆术的方法求半径r＝3的圆的面积的近似值（取到内接正6144边形）。 -5-
