关于刘徽的割圆术

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1、关于刘徽的割圆术关键词　九章算术,刘徽,割圆术,圆周率1　刘徽割圆术的内容刘徽的割圆术,是刘徽在为《九章算术》第一卷方田中的圆田术所作的注中提出来的[1],包括如下内容:1)刘徽首先解释了圆田术求圆面积的方法,然后指出“周三径一”是不对的,他说:以半周乘半径而为圆幂,“此以周径谓至然之数,非周三径一之率也.周三者,从其六觚之环耳,以推圆规多少之较,乃弓之与弦也.”2)刘徽提出用割圆内接正六边形为正十二边形等步骤,使圆内接正多边形的面积逐次逼近圆的面积.进而又指出:“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体

2、而无失矣.觚面之外,又有余径.以面乘余径则幂出弧表.若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径.表无余径,则幂不外出矣.”3)刘徽详述了割圆的算法,例如,关于割圆内接正六边形为正十二边形,他说:“令半径一尺为弦,半面五寸为勾,为之求股.以勾幂二十五寸减弦幂,余七十五寸,开方除之,下至秒忽,又一退法求其微数,微数无名者以为分子,以下为分母,约为五分忽之二,故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二.以减半径,余一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三,谓之小股,为之求弦,其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽,余分弃之,开方除之

3、,即十二觚之一面也.”4)刘徽在计算了圆内接正一百九十二边形的面积后,对圆面积进行了大胆推断,从而获得了当时世界上最精确的圆周率的值.他说:“差幂六百二十五分寸之一百五,以十二觚之幂为率消息,当取此分寸之三十六以增于一百九十二觚之幂(即三百一十四寸六百二十五分寸之六十四),以为圆幂三百一十四寸二十五分寸之四.”5)刘徽验证了自己获得的结果的正确性,为此,他继续用割圆术,直到求出圆内接正三千零七十二边形的面积.他说:“当求一千五百三十六觚之一面,得三千七十二觚之幂,而裁其微分,数亦宜然,重其验耳.”2　刘徽割圆术的历史地位

4、2.1　古希腊已有割圆思想　　古希腊巧辩学派的学者Antiphon(约公元前五世纪)提出用边数不断增加的圆内接正多边形来接近圆,并提出把圆看作是无穷多边的正多边形;另一个古希腊巧辩学派的学者Bryson(约公元前五世纪)类似地提出用边数不断增加的圆外切正多边形来接近圆;而古希腊的一位大数学家Eudoxus(约公元前四世纪)则依据这一思想创立了穷竭法这种著名的获取定理和证明定理的方法.虽然刘徽不是人类历史上第一个提出割圆思想的人,但是,他没有简单地重复任何人,而是独立地、完整地、创造性地提出了割圆术,和古希腊的数学家们一样

5、,刘徽的思想同样是辉煌的.2.2　刘徽用割圆术获得了当时世界上最精确的圆周率值古希腊的Antiphon,Bryson,Eudoxus虽然先于刘徽提出割圆思想,但他们都没有用它去求圆周率的值.然而,Archimedes[3](公元前287～公元前212年)继承了割圆思想,并根据圆周长大于圆内接正多边形周长而小于圆外切正多边形周长,得到圆周率P满足223/71

6、角所对的弦长的六十进制数值,其中1/2度圆心角所对弦长的数值为31′25″,相当于求得P的值为P≈377/120.这是刘徽以前有据可考的圆周率的最好结果.我国古代很早就知道“周三径一”误差很大,需要改进,不少人在这方面作过工作[4]:汉代的刘歆(约公元前50～公元23年)所用圆周率的值为P≈3.1547;汉代的张衡(公元78～139年)所用圆周率的值为P≈3.1623;三国的王蕃(公元219～257年)所用圆周率的值为P≈3.1556.这些P的近似值都不如Archimedes和Ptolemy的结果好,并且都未提供出正确的

7、算法,缺乏理论根据.而刘徽根据他所提出的割圆术,运用勾股定理,设计出一个完整的求圆周率P近似值的算法.设n=6(术曰:割六觚以为十二觚),又设r=1,则有s=1(术曰:置圆径二尺,半之为一尺,即六觚之面也),算法步骤如下:¹设弦为r,勾为s/2,求股,赋予a(此为小股,术曰:令半径为弦,半面为勾,为之求股);º将r-a赋予b(此为余径,术曰:觚面之外,又有余径,又曰:以减半径,谓之小股);»设勾仍为s/2,股为b,求弦,赋予s(实为圆内接正2n边形的边长,术曰:为之求小弦,即十二(2n)觚之一面也);¼求Sn=nõs圆周

8、率的近似值(实为圆内接正2n边形的半周长,亦为圆内接正4n边形的面积,术曰:得二十四(4n)觚之幂);½将2n赋予向¹.上述算法为计算出更精确的圆周率值奠定了基础.刘徽所获得的“圆幂三百一十四寸二十五分寸之四”,即P≈3.1416,这是当时世界上最精确的圆周率的值.顺便指出,祖冲之[5](公元429～500年)研究过