高二数学 刘徽创立的割圆术素材.doc

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1、刘徽创立的割圆术圆周率是对圆形和球体进行数学分析时不可缺少的一个常数，各国古代科学家均将圆周率作为一个重要课题。我国最早采用的圆周率数值为三，即所谓“径一周三”。《九章算术》中就采用了这个数据，“方田”中有这样一个问题“今有圆田，周三十步，径十步，问田有几何？”很显然，这个数值不能满足精确计算的要求。汉代一些数学家已发现了这一问题，并在实际应用时采用多种圆周率数值。经过他们的努力，数值精确度虽有提高，但大多是经验成果，缺少理论基础。圆周率计算上的有所突破，有赖于有效方法的诞生，这种方法就是割圆术。刘徽经过深入研

2、究，他发现圆内接正多边形边数无限增加时，多边形周长可无限逼近圆周长，从而创立了“割圆术”。割圆术的主要内容是：一、在圆内作内接正六边形，每边边长均等于半径；再作正十二边形，从勾股定理出发，求得正十二边形的边长，如此类推，从内接n边形的边长可推知内接2n边形的边长。二、从圆内接正n边形每边边长，可求得内接2n边形的面积。如图正十二边形的一部分（四边形OADB）的面积，等于正六边形边长AB乘以半径OD的一半，这样，即使边数极多的内接正多边形面积也可以一步步求解。三、圆的面积介于两个可求得的值之间。依据极限观念，刘徽

3、指出：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。将这种极限思想和上述不等式结合起来，通过不断增加多边形边数，就可以从不足近似值和过剩近似值两个方面逼近圆周率的真值。这两个数据的精确度是当时世界上前所未有的。与刘徽类似的是，古希腊的阿基米德也用正多边形法去求圆周率。但是阿基米德是用归谬法证得这一结果的，避开了极限概念，而刘徽却大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法；且阿基米德的方法需另外计算圆外切正多边形面积，刘

4、徽的方法则只需求内接正多边形面积。与阿基米德比，刘徽的割圆术可谓事半功倍。-1-